ГДЗ до вправи 3.19 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $y = 7x + 3$

$x^2 + 6x(7x + 3) - (7x + 3)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + 42x^2 + 18x - (49x^2 + 42x + 9) = 9$

$-6x^2 - 24x - 18 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0$

$x_1 = -1 \Rightarrow y_1 = -4$; $x_2 = -3 \Rightarrow y_2 = -18$

Відповідь: $(-1; -4), (-3; -18)$

---

2) $(x - y)^2 = 100 \Rightarrow x - y = 10$ або $x - y = -10$

$\begin{cases} x - y = 10, \\ x + y = 8; \end{cases} \Rightarrow 2x = 18, x = 9, y = -1$

$\begin{cases} x - y = -10, \\ x + y = 8; \end{cases} \Rightarrow 2x = -2, x = -1, y = 9$

Відповідь: $(9; -1), (-1; 9)$

---

3) $xy(x + y) = -54$

Нехай $x + y = u, xy = v \Rightarrow \begin{cases} u + v = -15, \\ uv = -54; \end{cases}$

$t^2 + 15t - 54 = 0 \Rightarrow t_1 = 3, t_2 = -18$

А) $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = -18; \end{cases} \Rightarrow (6; -3), (-3; 6)$

Б) $\begin{cases} x + y = -18, \\ xy = 3; \end{cases} \Rightarrow z^2 + 18z + 3 = 0 \Rightarrow z = -9 \pm \sqrt{78}$

Відповідь: $(6; -3), (-3; 6), (-9 + \sqrt{78}; -9 - \sqrt{78}), (-9 - \sqrt{78}; -9 + \sqrt{78})$

1) З першого рівняння виразимо $y$: $y = 7x + 3$. Підставимо у друге: $x^2 + 6x(7x + 3) - (7x + 3)^2 = 9$. Розкриваємо дужки та зводимо подібні доданки: $x^2 + 42x^2 + 18x - 49x^2 - 42x - 9 = 9$. Отримуємо квадратне рівняння $-6x^2 - 24x - 18 = 0$. Поділимо на $-6$: $x^2 + 4x + 3 = 0$. За теоремою Вієта $x_1 = -1, x_2 = -3$. Тоді $y_1 = 7(-1) + 3 = -4$ та $y_2 = 7(-3) + 3 = -18$.

2) Перше рівняння системи є розгорнутою формулою $(x - y)^2 = 100$. Звідси $x - y = 10$ або $x - y = -10$. Розв’язуємо дві прості лінійні системи методом додавання з рівнянням $x + y = 8$. У першому випадку отримуємо $x=9, y=-1$. У другому — $x=-1, y=9$.

3) Друге рівняння перепишемо як $xy(x + y) = -54$. Введемо заміни: суму чисел позначимо через $u$, а добуток — через $v$. Отримуємо систему: $u + v = -15, uv = -54$. Числа $u$ та $v$ є коренями рівняння $t^2 + 15t - 54 = 0$. Це числа $3$ та $-18$. Повертаємося до змінних $x$ та $y$. Якщо сума $3$, а добуток $-18$, то це пари $(6; -3)$ та $(-3; 6)$. Якщо сума $-18$, а добуток $3$, то корені знаходимо через дискримінант: $x, y = -9 \pm \sqrt{78}$.