ГДЗ до вправи 4.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $g(28) = a \Rightarrow f(a) = 28 \Rightarrow a^3 + \sqrt{a - 2} = 28$. При $a = 3$: $27 + 1 = 28$. Отже, $g(28) = 3$.

2) $g(x) = 1 \Rightarrow f(1) = x$. ОДЗ $f(x): x \ge 2$. Оскільки $1 < 2$, значення $f(1)$ не існує. Рівняння коренів не має.

3) $f(x)$ строго зростаюча на $[2; +\infty) \Rightarrow$ $g(x)$ також строго зростаюча $\Rightarrow$ ні, такого значення $c$ не існує.

1) Знаходження $g(28)$ зводиться до пошуку такого $x$, що $x^3 + \sqrt{x - 2} = 28$. Область визначення функції $f$ — це проміжок $x \in [2; +\infty)$. На цьому проміжку функція $f$ є сумою двох зростаючих функцій, тому вона сама строго зростає. Підбором знаходимо $x = 3$: $3^3 + \sqrt{3 - 2} = 27 + 1 = 28$. У силу монотонності корінь єдиний. Тоді $g(28) = 3$.

2) Рівняння $g(x) = 1$ за означенням оберненої функції означає, що $f(1) = x$. Проте область визначення функції $f$ обмежена умовою $x - 2 \ge 0$, тобто $x \ge 2$. Число $1$ не входить до області визначення функції $f$, тому значення $f(1)$ не визначене. Отже, рівняння не має коренів.

3) Оскільки функція $f(x)$ є строго зростаючою на своїй області визначення, то кожному значенню $x$ відповідає єдине значення $y$, і навпаки. Це означає, що обернена функція $g(x)$ також буде строго монотонною (зростаючою) на своїй області визначення. Строго монотонна функція кожне своє значення приймає лише один раз. Тому не існує такого значення $c$, при якому рівняння $g(x) = c$ мало б два або більше коренів.