ГДЗ до вправи 4.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 4.10
Доведіть, що функція, обернена до непарної функції, також є непарною.
Розв'язок вправи № 4.10
Коротке рішення
Нехай $f$ — непарна оборотна функція, а $g$ — обернена до неї.
1) Для будь-якого $y \in D(g)$ існує $x \in D(f)$ таке, що $f(x) = y$, звідки $g(y) = x$.
2) Оскільки $f$ непарна, то $f(-x) = -f(x) = -y$.
3) За означенням оберненої функції, $g(-y) = -x$.
4) Оскільки $x = g(y)$, то $g(-y) = -g(y)$. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Доведення ґрунтується на визначенні непарної функції ($f(-x) = -f(x)$) та властивості оберненої функції (якщо $f(x) = y$, то $f^{-1}(y) = x$). Тема: Функції та їх властивості.
Припустимо, що функція $f$ є непарною та оборотною. Нехай $g$ — функція, обернена до $f$.
Візьмемо довільне значення $y$ з області визначення функції $g$. Це означає, що в області визначення функції $f$ існує таке значення $x$, що $f(x) = y$. Тоді, за означенням оберненої функції, $g(y) = x$.
Оскільки функція $f$ непарна, то для значення $-x$ виконується рівність $f(-x) = -f(x)$. Підставивши $f(x) = y$, отримуємо $f(-x) = -y$.
Тепер застосуємо означення оберненої функції $g$ до рівності $f(-x) = -y$. Це дає нам $g(-y) = -x$. Оскільки ми знаємо, що $x = g(y)$, підставимо це значення: $g(-y) = -g(y)$.
Така рівність означає, що функція $g$ є непарною за означенням. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.