ГДЗ до вправи 4.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $(x - 5)^2 > 0 \Rightarrow x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$. Відповідь: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) $(x - 5)^2 \ge 0 \Rightarrow$ істинно для будь-якого $x$. Відповідь: $(-\infty; +\infty)$.

3) $(x - 5)^2 < 0 \Rightarrow$ розв'язків немає. Відповідь: $\emptyset$.

4) $(x - 5)^2 \le 0 \Rightarrow (x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5$. Відповідь: $5$.

5) $\left(\frac{x - 5}{x + 5}\right)^2 > 0 \Rightarrow \frac{x - 5}{x + 5} \neq 0 \Rightarrow x - 5 \neq 0, x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5, x \neq -5$. Відповідь: $(-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

6) $\left(\frac{x - 5}{x + 5}\right)^2 \ge 0 \Rightarrow x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$. Відповідь: $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

7) $\frac{x + 5}{x + 5} > \frac{1}{2} \Rightarrow 1 > \frac{1}{2}$ при $x \neq -5$. Відповідь: $(-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

8) $\frac{x^2 + 1}{x^2} \ge 0 \Rightarrow x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. Відповідь: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $\frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0 \Rightarrow$ істинно для будь-якого $x$. Відповідь: $(-\infty; +\infty)$.

1-4) Квадрат виразу $(x - 5)^2$ завжди невід'ємний. Він більший за нуль скрізь, крім точки, де $x - 5 = 0$ (тобто $x = 5$). Він ніколи не може бути меншим за нуль. Рівність нулю досягається тільки при $x = 5$.

5-6) Квадрат дробу невід'ємний всюди, де дріб визначений ($x \neq -5$). Нерівність $\left(\frac{x - 5}{x + 5}\right)^2 > 0$ виключає також випадок, коли чисельник дорівнює нулю ($x = 5$).

7) Дріб $\frac{x + 5}{x + 5}$ дорівнює $1$ для всіх $x$, крім $x = -5$ (де ділення на нуль). Оскільки $1 > \frac{1}{2}$ — правильна числова нерівність, розв'язком є всі допустимі значення $x$.

8-9) Вирази $x^2 + 1$ завжди більші або дорівнюють $1$, тому вони завжди додатні. Знак дробу в обох випадках залежить тільки від $x^2$, який завжди $\ge 0$. У восьмому пункті $x \neq 0$, оскільки $x^2$ знаходиться в знаменнику.