ГДЗ до вправи 4.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 4.11
Нехай $g$ — функція, обернена до функції $f(x) = x^5 + 6x^3$.
- Знайдіть $g(7)$.
- Розв’яжіть рівняння $g(x) = -1$.
- Скільки коренів має рівняння $g(x) = c$ залежно від значення параметра $c$?
Розв'язок вправи № 4.11
Коротке рішення
1) $g(7) = a \Rightarrow f(a) = 7 \Rightarrow a^5 + 6a^3 = 7 \Rightarrow a = 1$. Отже, $g(7) = 1$.
2) $g(x) = -1 \Rightarrow f(-1) = x \Rightarrow (-1)^5 + 6(-1)^3 = -7 \Rightarrow x = -7$.
3) $f(x)$ зростаюча на $\mathbb{R} \Rightarrow$ $g(x)$ визначена і зростаюча на $\mathbb{R} \Rightarrow$ 1 корінь при будь-якому $c$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Використовуємо основну властивість обернених функцій: якщо $f(a) = b$, то $g(b) = a$. Також пам'ятаємо, що якщо функція строго монотонна, то рівняння $f(x) = c$ має не більше одного кореня. Тема: Функції та їх властивості.
1) Щоб знайти $g(7)$, потрібно знайти таке значення аргументу $x$ для функції $f$, при якому $f(x) = 7$. Маємо рівняння $x^5 + 6x^3 = 7$. Оскільки сума двох зростаючих функцій $x^5$ та $6x^3$ є зростаючою функцією, то корінь єдиний. Підбором знаходимо $x = 1$ ($1^5 + 6 \cdot 1^3 = 1 + 6 = 7$). Отже, $g(7) = 1$.
2) Рівняння $g(x) = -1$ рівносильне рівності $f(-1) = x$ за означенням оберненої функції. Підставимо $-1$ у формулу функції $f$: $x = (-1)^5 + 6 \cdot (-1)^3 = -1 - 6 = -7$. Отже, $x = -7$.
3) Оскільки функція $f(x) = x^5 + 6x^3$ є неперервною і строго зростаючою на всій числовій прямій ($\mathbb{R}$), то її множиною значень є $\mathbb{R}$. Це означає, що обернена функція $g(x)$ також визначена на $\mathbb{R}$ і є строго зростаючою. Для будь-якого значення $c$ горизонтальна пряма $y = c$ перетне графік зростаючої функції $g(x)$ рівно в одній точці. Тому рівняння має 1 корінь при будь-якому $c$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.