ГДЗ до вправи 4.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 4.7
Знайдіть функцію, обернену до даної:
- $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;
- $y = \sqrt{x^2 - 4}, \ D(y) = [2; +\infty)$.
Розв'язок вправи № 4.7
Коротке рішення
1) $y = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow y^2 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{y^2}$
Обернена функція: $y = \frac{1}{x^2}, \ D(f^{-1}) = (0; +\infty)$
2) $y = \sqrt{x^2 - 4}, \ x \ge 2 \Rightarrow y^2 = x^2 - 4 \Rightarrow x^2 = y^2 + 4 \Rightarrow x = \sqrt{y^2 + 4}$
Обернена функція: $y = \sqrt{x^2 + 4}, \ D(f^{-1}) = [0; +\infty)$
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: При знаходженні оберненої функції необхідно виразити $x$ через $y$ та врахувати, що область визначення оберненої функції збігається з множиною значень вихідної функції. Тема: Функції та їх властивості
1) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Оскільки $\sqrt{x} > 0$, то область значень функції $E(y) = (0; +\infty)$. Виразимо $x$: піднесемо до квадрата $y^2 = \frac{1}{x}$, звідки $x = \frac{1}{y^2}$. Помінявши змінні місцями, маємо $y = \frac{1}{x^2}$ для $x > 0$.
2) $y = \sqrt{x^2 - 4}$. Для $x \in [2; +\infty)$ функція зростає, її найменше значення $y = \sqrt{2^2 - 4} = 0$. Отже, $E(y) = [0; +\infty)$. Виразимо $x$: $y^2 = x^2 - 4 \Rightarrow x^2 = y^2 + 4$. Оскільки $x \ge 2$, то $x = \sqrt{y^2 + 4}$. Обернена функція: $y = \sqrt{x^2 + 4}$ з областю визначення $x \in [0; +\infty)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.