ГДЗ до вправи 5.21 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.21
Розв’яжіть нерівність:
- $(x - 3) \sqrt{14 + 5x - x^2} > 0$;
- $(x - 3) \sqrt{14 + 5x - x^2} \le 0$;
- $(x^2 - 25) \sqrt{16 - x^2} > 0$;
- $(x^2 - 25) \sqrt{16 - x^2} \ge 0$.
Розв'язок вправи № 5.21
Коротке рішення
1) ОДЗ: $x \in [-2; 7]$. Розв’язок: $(3; 7)$.
2) ОДЗ: $x \in [-2; 7]$. Розв’язок: $[-2; 3] \cup \{7\}$.
3) ОДЗ: $x \in [-4; 4]$. Коренів немає ($\emptyset$).
4) ОДЗ: $x \in [-4; 4]$. Розв’язок: $\{-4; 4\}$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: При розв'язанні нерівностей з коренями першим кроком є знаходження ОДЗ (підкореневий вираз $\ge 0$). Крім того, важливо враховувати, що при $\sqrt{f(x)} = 0$ вся ліва частина стає нулем. Тема: Функції та їх властивості.
Завдання 1-2: Знайдемо ОДЗ: $14 + 5x - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 5x - 14 \le 0 \Rightarrow (x - 7)(x + 2) \le 0 \Rightarrow x \in [-2; 7]$.
1) Для строгої нерівності $(>0)$ корінь має бути більшим за нуль ($x \in (-2; 7)$), тоді $(x - 3) > 0 \Rightarrow x > 3$. Перетин з ОДЗ: $(3; 7)$.
2) Для нерівності $(\le 0)$ або корінь дорівнює 0 ($x=7, x=-2$), або корінь додатний і $(x - 3) \le 0 \Rightarrow x \le 3$. Разом з ОДЗ: $x \in [-2; 3] \cup \{7\}$.
Завдання 3-4: ОДЗ: $16 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x \in [-4; 4]$. На цьому проміжку вираз $(x^2 - 25)$ завжди від'ємний (найбільше значення $4^2 - 25 = -9$).
3) Оскільки $(x^2 - 25) < 0$ на ОДЗ, а корінь $\ge 0$, добуток не може бути $> 0$. Відповідь: $\emptyset$.
4) Нерівність виконується лише коли корінь дорівнює нулю: $x = \pm 4$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.