ГДЗ до вправи 5.20 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 5.20
Розв’яжіть нерівність:
- $(x^2 - 1) \sqrt{x^2 - 4} \le 0$;
- $(x^2 - 1) \sqrt{x^2 - 4} \ge 0$;
- $(x^2 - 5x + 4) \sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0$;
- $(x^2 - 5x + 4) \sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$.
Розв'язок вправи № 5.20
Коротке рішення
1) ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 2$. При $\sqrt{x^2 - 4} = 0$: $x = \pm 2$. При $\sqrt{x^2 - 4} > 0$: $x^2 - 1 \le 0 \Rightarrow |x| \le 1$ (немає перетину з ОДЗ). Відповідь: $\{-2; 2\}$.
2) ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0$. При $\sqrt{x^2 - 4} > 0$: $x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 1$. Відповідь: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.
3) ОДЗ: $x^2 - 7x + 10 \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$. При $\sqrt{\dots} = 0$: $x = 2, 5$. При $\sqrt{\dots} > 0$: $(x - 1)(x - 4) \le 0 \Rightarrow x \in [1; 4]$. Перетин з ОДЗ: $[1; 2] \cup \{5\}$.
4) ОДЗ: $x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$. При $\sqrt{\dots} > 0$: $(x - 1)(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$. Перетин з ОДЗ: $(-\infty; 1] \cup \{2\} \cup [5; +\infty)$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: При розв'язанні нерівностей з квадратними коренями першочерговим є знаходження області допустимих значень (ОДЗ). Оскільки корінь завжди невід'ємний, знак добутку залежить лише від другого множника, проте до розв’язку обов’язково додаються точки, де корінь дорівнює нулю. Тема: Функції та їх властивості.
Завдання 1-2: Область визначення нерівності задається умовою $x^2 - 4 \ge 0$, що дає $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$. Вираз $\sqrt{x^2 - 4}$ перетворюється на нуль при $x = 2$ та $x = -2$. Ці точки є розв’язками для обох нерівностей (бо вони нестрогі). Для інших $x$ з ОДЗ корінь додатний, тому знак добутку збігається зі знаком $(x^2 - 1)$. Оскільки інтервал $[-1; 1]$ не перетинається з ОДЗ (крім межових точок для іншої умови), у першому завданні залишаються лише нулі кореня, а в другому — вся ОДЗ.
Завдання 3-4: ОДЗ: $x^2 - 7x + 10 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 5) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$. Квадратний тричлен перед коренем: $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$. У третьому завданні шукаємо перетин ОДЗ з інтервалом $[1; 4]$ та додаємо точку $x=5$. Отримуємо $[1; 2] \cup \{5\}$. У четвертому — перетин ОДЗ з $(-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$, що дає $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$ та окремий корінь $x=2$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.