Розв'язання вправи № 18 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Спростіть вираз:
1) $ \frac{3m-7}{12m} + \frac{13-5m}{12m} - \frac{6m-2}{12m} $; 2) $ \frac{m^2+1}{a(m-1)} - \frac{2}{a(m-1)} $;
3) $ \frac{x-8}{x^2-25} + \frac{13}{x^2-25} $; 4) $ \frac{a-4}{a-2} - \frac{2}{2-a} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{3m-7+13-5m-(6m-2)}{12m} = \frac{-8m+8}{12m} = \frac{8(1-m)}{12m} = \frac{2(1-m)}{3m} $
2) $ \frac{m^2+1-2}{a(m-1)} = \frac{m^2-1}{a(m-1)} = \frac{(m-1)(m+1)}{a(m-1)} = \frac{m+1}{a} $
3) $ \frac{x-8+13}{x^2-25} = \frac{x+5}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5} $
4) $ \frac{a-4}{a-2} + \frac{2}{a-2} = \frac{a-4+2}{a-2} = \frac{a-2}{a-2} = 1 $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: При відніманні дробів чисельник другого дробу береться в дужки, щоб уникнути помилок зі знаками. В останньому завданні використовується прийом для зведення до спільного знаменника: $2-a=-(a-2)$. Заміна знаменника на протилежний дозволяє змінити знак перед дробом і працювати з однаковими знаменниками. Детальніше про додавання і віднімання дробів. Формула: $ \frac{A}{B} - \frac{C}{-B} = \frac{A}{B} + \frac{C}{B} $.
1) $ \frac{3m-7}{12m} + \frac{13-5m}{12m} - \frac{6m-2}{12m} $
Усі дроби мають спільний знаменник $12m$. Виконуємо дії з чисельниками:
Виносимо спільний множник 8 у чисельнику: $ \frac{8(1-m)}{12m} $. Скорочуємо дріб на 4:
2) $ \frac{m^2+1}{a(m-1)} - \frac{2}{a(m-1)} $
Спільний знаменник $a(m-1)$. Віднімаємо чисельники:
Розкладаємо чисельник за формулою різниці квадратів: $m^2-1=(m-1)(m+1)$.
Скорочуємо на $(m-1)$:
3) $ \frac{x-8}{x^2-25} + \frac{13}{x^2-25} $
Спільний знаменник $x^2-25$. Додаємо чисельники:
Розкладаємо знаменник за формулою різниці квадратів: $x^2-25=(x-5)(x+5)$.
Скорочуємо на $(x+5)$:
4) $ \frac{a-4}{a-2} - \frac{2}{2-a} $
Знаменники є протилежними виразами. Замінимо $2-a$ на $-(a-2)$ і змінимо знак перед дробом:
Тепер додаємо дроби з однаковими знаменниками:
