Розв'язання вправи № 21 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
За якого значення $ a $ вирази $ \frac{2x+3}{x-2} $ і $ \frac{2x}{x-2} + \frac{a}{2-x} $ є тотожно рівними?
Короткий розв'язок
$ \frac{2x+3}{x-2} = \frac{2x}{x-2} + \frac{a}{2-x} \implies \frac{2x+3}{x-2} = \frac{2x}{x-2} - \frac{a}{x-2} $
$ 2x+3 = 2x-a \implies 3 = -a \implies a = -3 $.
Відповідь: -3.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Два вирази є тотожно рівними, якщо вони набувають однакових значень при всіх допустимих значеннях змінної. Щоб знайти невідомий параметр $a$, ми прирівняємо ці два вирази, зведемо їх до спільного знаменника, а потім прирівняємо їх чисельники.
Прирівняємо дані вирази:
Щоб звести дроби у правій частині до спільного знаменника, помітимо, що $2-x = -(x-2)$. Використаємо цю властивість, щоб змінити знаменник другого дробу, одночасно змінивши знак перед ним:
Тепер наша рівність має вигляд:
Два дроби з однаковими знаменниками рівні тоді, коли рівні їхні чисельники. Прирівняємо чисельники:
Віднімемо $2x$ від обох частин рівняння:
Звідси знаходимо $a$:
Відповідь: Вирази є тотожно рівними при $a = -3$.
