Розв'язання вправи № 13 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть тотожність: $ \frac{7,5a^2-2,5ab}{22,5a^2-2,5b^2} = \frac{a}{3a+b} $

Короткий розв'язок

$ \frac{7,5a^2-2,5ab}{22,5a^2-2,5b^2} = \frac{2,5a(3a-b)}{2,5(9a^2-b^2)} = \frac{a(3a-b)}{(3a-b)(3a+b)} = \frac{a}{3a+b} $

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести тотожність, потрібно виконати тотожні перетворення однієї з її частин (зазвичай, складнішої) і звести її до вигляду іншої частини. У цьому випадку ми будемо спрощувати ліву частину рівності, використовуючи винесення спільного множника та формулу різниці квадратів.

Перетворимо ліву частину тотожності:

$$ \frac{7,5a^2-2,5ab}{22,5a^2-2,5b^2} $$

Винесемо спільний множник у чисельнику. Спільним множником є $2,5a$:

$$ 7,5a^2-2,5ab = 2,5a(3a-b) $$

Винесемо спільний множник у знаменнику. Спільний числовий множник для 22,5 і 2,5 — це 2,5:

$$ 22,5a^2-2,5b^2 = 2,5(9a^2-b^2) $$

Підставимо розкладені вирази у дріб:

$$ \frac{2,5a(3a-b)}{2,5(9a^2-b^2)} $$

Розкладемо вираз $9a^2-b^2$ у знаменнику за формулою різниці квадратів:

$$ 9a^2-b^2 = (3a)^2 - b^2 = (3a-b)(3a+b) $$

Підставимо у дріб і виконаємо скорочення:

$$ \frac{2,5a(3a-b)}{2,5(3a-b)(3a+b)} $$