Розв'язання вправи № 20 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Перетворіть на дріб вираз:
1) $ \frac{9b+1}{b^2-4} + \frac{8-b}{4-b^2} - \frac{7b-1}{b^2-4} $;
2) $ \frac{5m}{m^3-1} - \frac{1-4m}{1-m^3} + \frac{m^2}{m^3-1} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{9b+1}{b^2-4} - \frac{8-b}{b^2-4} - \frac{7b-1}{b^2-4} = \frac{9b+1-8+b-7b+1}{b^2-4} = \frac{3b-6}{(b-2)(b+2)} = \frac{3(b-2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{3}{b+2} $.
2) $ \frac{5m}{m^3-1} + \frac{1-4m}{m^3-1} + \frac{m^2}{m^3-1} = \frac{5m+1-4m+m^2}{m^3-1} = \frac{m^2+m+1}{(m-1)(m^2+m+1)} = \frac{1}{m-1} $.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для розв'язання цих прикладів ми використаємо прийом заміни знаменника на протилежний вираз ($A-B = -(B-A)$), що дозволяє змінити знак перед дробом і звести всі дроби до спільного знаменника. Після цього виконуємо дії з чисельниками, розкладаємо їх на множники та скорочуємо дріб.
1) $ \frac{9b+1}{b^2-4} + \frac{8-b}{4-b^2} - \frac{7b-1}{b^2-4} $
Замінимо знаменник другого дробу $4-b^2$ на $-(b^2-4)$ і змінимо знак перед дробом з "+" на "-":
Тепер, коли всі знаменники однакові, виконаємо дії з чисельниками:
Розкладемо чисельник і знаменник на множники та скоротимо дріб:
2) $ \frac{5m}{m^3-1} - \frac{1-4m}{1-m^3} + \frac{m^2}{m^3-1} $
Замінимо знаменник другого дробу $1-m^3$ на $-(m^3-1)$ і змінимо знак перед дробом з "-" на "+":
Додамо чисельники, оскільки знаменники тепер однакові:
Розкладемо знаменник за формулою різниці кубів $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
Скоротимо дріб на спільний множник $(m^2+m+1)$:
