Розв'язання вправи № 52 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що значення виразу $ \frac{2x^3+2y^3}{xy-x^2} : \frac{x^3-x^2y+xy^2}{x^2-y^2} $ для всіх допустимих значень змінної набуває лише недодатних значень.
Короткий розв'язок
$ \frac{2(x+y)(x^2-xy+y^2)}{-x(x-y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x(x^2-xy+y^2)} = \frac{2(x+y)^2}{-x^2} = -\frac{2(x+y)^2}{x^2} $
Оскільки $ (x+y)^2 \ge 0 $ та $ x^2 > 0 $ (в ОДЗ), то $ \frac{2(x+y)^2}{x^2} \ge 0 $. Отже, $ -\frac{2(x+y)^2}{x^2} \le 0 $.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести твердження, необхідно спочатку максимально спростити вираз. Для цього ми замінимо ділення множенням на обернений дріб, розкладемо всі чисельники та знаменники на множники і виконаємо скорочення. Після отримання спрощеного виразу проаналізуємо його знак.
1. Перетворення виразу.
Замінюємо ділення множенням на обернений дріб:
2. Розкладання на множники.
Розкладемо на множники кожен елемент дробів:
- $ 2x^3+2y^3 = 2(x^3+y^3) = 2(x+y)(x^2-xy+y^2) $ (сума кубів)
- $ xy-x^2 = x(y-x) = -x(x-y) $
- $ x^2-y^2 = (x-y)(x+y) $ (різниця квадратів)
- $ x^3-x^2y+xy^2 = x(x^2-xy+y^2) $
Підставимо розкладені вирази у наш приклад:
3. Скорочення дробу.
Перемножимо дроби і скоротимо спільні множники $ (x-y) $ та $ (x^2-xy+y^2) $:
Отримуємо спрощений вираз:
4. Аналіз знаку виразу.
Проаналізуємо отриманий результат:
- Вираз $ (x+y)^2 $ завжди невід'ємний, тобто $ (x+y)^2 \ge 0 $.
- Вираз $ x^2 $ для будь-якого допустимого значення $ x $ (тобто $ x \ne 0 $) є строго додатним, $ x^2 > 0 $.
- Отже, дріб $ \frac{2(x+y)^2}{x^2} $ завжди невід'ємний (більший або дорівнює нулю).
- Оскільки перед усім виразом стоїть знак мінус, то кінцеве значення $ -\frac{2(x+y)^2}{x^2} $ завжди буде недодатним (меншим або дорівнює нулю).
Таким чином, ми довели, що значення виразу для всіх допустимих значень змінних є недодатним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.