ГДЗ до вправи 10.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 10.6
Знайдіть область визначення функції:
- $y = \sqrt[4]{x - 2}$;
- $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$;
- $y = \sqrt[10]{|x|(x - 6)}$.
Розв'язок вправи № 10.6
Коротке рішення
1) $y = \sqrt[4]{x - 2} \Rightarrow x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.
2) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3} \Rightarrow x^2 - 4x + 3 \ge 0 \Rightarrow$
$(x - 1)(x - 3) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.
3) $y = \sqrt[10]{|x|(x - 6)} \Rightarrow |x|(x - 6) \ge 0 \Rightarrow$
$|x| = 0 \text{ або } x - 6 \ge 0 \Rightarrow x = 0 \text{ або } x \ge 6$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Усі функції в завданні містять корені парного степеня. Область визначення таких функцій складається з усіх значень змінної, при яких підкореневий вираз є невід'ємним. Тема: Функції та їх властивості.
- У першому випадку: Для кореня четвертого степеня підкореневий вираз $x - 2$ має бути більшим за нуль або дорівнювати йому. Це лінійна нерівність $x \ge 2$.
- У другому випадку: Вираз під коренем шостого степеня — квадратний тричлен. Щоб знайти, де він $\ge 0$, знайдемо його нулі: $x^2 - 4x + 3 = 0$. За теоремою Вієта корені $1$ та $3$. Парабола спрямована вітками вгору, тому вираз додатний на зовнішніх інтервалах: від мінус нескінченності до 1 та від 3 до плюс нескінченності.
- У третьому випадку: Добуток $|x|(x - 6)$ має бути $\ge 0$. Оскільки модуль $|x|$ завжди невід'ємний, він не може змінити знак всього виразу на мінус. Проте він може перетворити весь добуток на нуль при $x = 0$. Для інших випадків знак залежить від дужки $x - 6$. Отже, розв'язком є $x \ge 6$ та окрема ізольована точка $x = 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.