ГДЗ до вправи 10.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) $\sqrt[6]{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt[6]{x} - 2 \ge -2$.
Відповідь: $E(y) = [-2; +\infty)$.

2) $\sqrt[3]{x} \in \mathbb{R} \Rightarrow \sqrt[3]{x} - 3 \in \mathbb{R}$.
Відповідь: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) $\sqrt[8]{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt[8]{x} - 1 \ge -1$. Модуль будь-якого виразу $\ge 0$.
Оскільки вираз $\sqrt[8]{x} - 1$ набуває значення $0$ при $x=1$, то мінімальне значення модуля — $0$.
Відповідь: $E(y) = [0; +\infty)$.

• У першому випадку: Функція $y = \sqrt[6]{x} - 2$ містить корінь парного степеня. Оскільки $\sqrt[6]{x}$ за означенням не може бути меншим за нуль, то найменше значення цього доданка дорівнює $0$. Віднімаючи $2$, ми зміщуємо множину значень вниз: $0 - 2 = -2$. Отже, $y$ може бути будь-яким числом від $-2$ і вище.
• У другому випадку: Корінь третього степеня є непарним. Це означає, що він може бути як завгодно великим додатним числом, так і як завгодно великим за модулем від'ємним числом. Віднімання трійки не обмежує цей діапазон. Таким чином, область значень — усі дійсні числа.
• У третьому випадку: Вираз під знаком модуля $\sqrt[8]{x} - 1$ набуває значень від $-1$ до $+\infty$ (оскільки корінь $\ge 0$). Проте модуль будь-якого виразу завжди невід'ємний. Оскільки всередині модуля може вийти нуль, то найменше значення функції — $0$. Найбільшого значення не існує, бо корінь може зростати до нескінченності.