ГДЗ до вправи 4.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 4.2
Доведіть, що функції $f$ і $g$ є взаємно оберненими:
- $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}, \ g(x) = 3x - 1$;
- $f(x) = \sqrt{x + 2}, \ g(x) = x^2 - 2, \ D(g) = [0; +\infty)$.
Розв'язок вправи № 4.2
Коротке рішення
1) $y = \frac{x + 1}{3} \Rightarrow 3y = x + 1 \Rightarrow x = 3y - 1$
Замінимо $x$ на $g(x)$, а $y$ на $x$: $g(x) = 3x - 1$. Доведено.
2) $y = \sqrt{x + 2} \Rightarrow y^2 = x + 2 \Rightarrow x = y^2 - 2$
Область значень $f(x)$ є $[0; +\infty)$, що збігається з $D(g)$. Отже, $g(x) = x^2 - 2$ на $[0; +\infty)$ є оберненою. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Щоб довести взаємну оберненість, потрібно з рівняння $y = f(x)$ виразити $x$ через $y$. Якщо отримана формула збігається з формулою функції $g$ (з урахуванням областей визначення), то функції є взаємно оберненими. Тема: Функції та їх властивості.
1) Запишемо $f(x)$ як $y = \frac{x+1}{3}$. Виразимо $x$: $3y = x + 1 \Rightarrow x = 3y - 1$. Отримана залежність аргументу від функції повністю відповідає вигляду функції $g(x) = 3x - 1$. Отже, функції взаємно обернені.
2) Для $f(x) = \sqrt{x + 2}$ маємо $y = \sqrt{x + 2}$. Оскільки корінь невід'ємний, $y \ge 0$. Піднесемо до квадрата: $y^2 = x + 2$, звідки $x = y^2 - 2$. Це формула функції $g(x)$ за умови $x \ge 0$. Оскільки область визначення $g$ вказана як $[0; +\infty)$, умови оберненості виконуються повністю.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.