ГДЗ до вправи 4.3 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 4.3
Доведіть, що функції $f$ і $g$ є взаємно оберненими:
- $f(x) = 4x + 2, \ g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$;
- $f(x) = (x - 3)^2, \ D(f) = [3; +\infty), \ g(x) = \sqrt{x} + 3$.
Розв'язок вправи № 4.3
Коротке рішення
1) $y = 4x + 2 \Rightarrow 4x = y - 2 \Rightarrow x = \frac{y}{4} - \frac{2}{4} \Rightarrow x = \frac{y}{4} - \frac{1}{2}$
Замінивши $y$ на $x$, отримаємо $g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$. Доведено.
2) $y = (x - 3)^2, x \ge 3 \Rightarrow \sqrt{y} = |x - 3| \Rightarrow \sqrt{y} = x - 3 \Rightarrow x = \sqrt{y} + 3$
Замінивши $y$ на $x$, отримаємо $g(x) = \sqrt{x} + 3$. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Щоб довести взаємну оберненість функцій, потрібно виразити змінну $x$ через $y$ із рівняння $y = f(x)$. Якщо отриманий вираз збігається з функцією $g(x)$, то вони є взаємно оберненими. Тема: Функції та їх властивості
1) Розглянемо функцію $y = 4x + 2$. Виразимо $x$ через $y$:
$4x = y - 2$;
$x = \frac{y - 2}{4} = \frac{y}{4} - \frac{2}{4} = \frac{y}{4} - \frac{1}{2}$.
Помінявши місцями $x$ та $y$, отримаємо функцію $y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$, що тотожно збігається з $g(x)$.
2) Розглянемо $y = (x - 3)^2$ на проміжку $x \in [3; +\infty)$. Оскільки $x \ge 3$, то вираз $(x - 3)$ є невід'ємним. Виразимо $x$:
$\sqrt{y} = \sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$;
Враховуючи область визначення $x \ge 3$, маємо $\sqrt{y} = x - 3$;
$x = \sqrt{y} + 3$.
Замінивши $y$ на $x$, маємо $y = \sqrt{x} + 3$, що відповідає функції $g(x)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.