ГДЗ до вправи 6.1 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.1
Доведіть, що многочлен $x^4 - 1$ ділиться націло на многочлен $x^3 + x^2 + x + 1$.
Розв'язок вправи № 6.1
Коротке рішення
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$
$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$
$\dfrac{x^4 - 1}{x^3 + x^2 + x + 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x + 1)(x^2 + 1)} = x - 1$
Остача дорівнює $0$, отже ділиться націло.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Щоб довести подільність одного многочлена на інший, можна розкласти обидва многочлени на множники та показати, що дільник повністю входить до складу множників діленого. Тема: Функції та їх властивості.
1) Розкладемо многочлен $x^4 - 1$ за формулою різниці квадратів: $$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$$ Розклавши першу дужку далі, маємо: $x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.
2) Розкладемо многочлен $x^3 + x^2 + x + 1$ методом групування: $$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1)$$ Винесемо спільний множник $(x + 1)$: $x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)$.
3) Оскільки многочлен $x^4 - 1$ містить у своєму розкладі добуток $(x + 1)(x^2 + 1)$, який є дільником, то при діленні ми отримаємо цілий вираз $(x - 1)$ без остачі. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.