ГДЗ до вправи 6.2 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.2
Доведіть, що многочлен $A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$ ділиться націло на многочлен $B(x) = x^2 - x + 1$.
Розв'язок вправи № 6.2
Коротке рішення
$A(x) = 2x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$
$A(x) = 2x^2(x^2 - x + 1) + x(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1)$
$A(x) = (x^2 - x + 1)(2x^2 + x + 1)$
$\dfrac{A(x)}{B(x)} = 2x^2 + x + 1$. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Доведення подільності можна здійснити методом групування доданків так, щоб у кожній групі можна було винести спільний множник, що дорівнює дільнику $B(x)$. Тема: Функції та їх властивості.
Перетворимо многочлен $A(x)$, додавши та віднявши однакові вирази для групування: $$A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$$ $$A(x) = (2x^4 - 2x^3 + 2x^2) + (x^3 - x^2 + x) + (x^2 - x + 1)$$
У кожній групі винесемо спільний множник за дужки:
- З першої групи винесемо $2x^2$: $2x^2(x^2 - x + 1)$;
- З другої групи винесемо $x$: $x(x^2 - x + 1)$;
- Третя група вже має вигляд дільника: $1(x^2 - x + 1)$.
Тепер винесемо спільний множник $(x^2 - x + 1)$ для всього виразу: $$A(x) = (x^2 - x + 1)(2x^2 + x + 1)$$ Оскільки один із множників дорівнює $B(x)$, то многочлен $A(x)$ ділиться на $B(x)$ націло. Частка від ділення дорівнює $2x^2 + x + 1$. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.