ГДЗ до вправи 6.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.6
Доведіть, що многочлен $A(x)$ ділиться націло на двочлен $B(x)$:
- $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 7x + 2, \ B(x) = x + 2$;
- $A(x) = 5x^5 - 6x^4 - x^2 + x + 1, \ B(x) = x - 1$.
Розв'язок вправи № 6.6
Коротке рішення
1) Перевіримо умову $A(-2) = 0$:
$$A(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 7 \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) + 2 = -16 + 28 - 14 + 2 = 0$$
Многочлен ділиться націло. Доведено.
2) Перевіримо умову $A(1) = 0$:
$$A(1) = 5 \cdot 1^5 - 6 \cdot 1^4 - 1^2 + 1 + 1 = 5 - 6 - 1 + 1 + 1 = 0$$
Многочлен ділиться націло. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Многочлен $A(x)$ ділиться на двочлен $(x - c)$ націло тоді й тільки тоді, коли число $c$ є коренем цього многочлена, тобто $A(c) = 0$ (наслідок із теореми Безу). Тема: Функції та їх властивості.
1) Щоб довести подільність $A(x)$ на $B(x) = x + 2$, обчислимо значення многочлена при $x = -2$: $$A(-2) = 2 \cdot (-2)^3 + 7 \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) + 2$$ $$A(-2) = 2 \cdot (-8) + 7 \cdot 4 - 14 + 2 = -16 + 28 - 14 + 2 = 0$$ Оскільки $A(-2) = 0$, то за теоремою Безу многочлен $A(x)$ ділиться на $(x + 2)$ без остачі.
2) Для двочлена $B(x) = x - 1$ перевіримо значення $A(1)$: $$A(1) = 5 \cdot 1^5 - 6 \cdot 1^4 - 1^2 + 1 + 1$$ $$A(1) = 5 - 6 - 1 + 1 + 1 = 0$$ Значення многочлена в точці $1$ дорівнює нулю, отже $A(x)$ ділиться на $(x - 1)$ націло. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.