ГДЗ до вправи 6.13 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + ab$.

За теоремою Безу: $P(2) = 15$ та $P(-1) = 0$.

$$\begin{cases} 8 + 4a + 2b + ab = 15 \\ -1 + a - b + ab = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4a + 2b + ab = 7 \\ a - b + ab = 1 \end{cases}$$

Віднімаємо рівняння: $3a + 3b = 6 \Rightarrow b = 2 - a$.

Підставляємо в друге: $a - (2 - a) + a(2 - a) = 1 \Rightarrow -a^2 + 4a - 3 = 0$.

Корені: $a_1 = 1 \Rightarrow b_1 = 1$; $a_2 = 3 \Rightarrow b_2 = -1$.

Відповідь: $(1; 1)$ та $(3; -1)$.

Нехай задано многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + ab$.

1) Згідно з теоремою Безу, остача від ділення на $x - 2$ дорівнює $P(2)$. За умовою вона становить $15$: $$2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + ab = 15 \Rightarrow 8 + 4a + 2b + ab = 15 \Rightarrow 4a + 2b + ab = 7.$$

2) Остача від ділення на $x + 1$ дорівнює $P(-1)$. За умовою вона становить $0$: $$(-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + ab = 0 \Rightarrow -1 + a - b + ab = 0 \Rightarrow a - b + ab = 1.$$

3) Розв’яжемо систему рівнянь. Віднімемо друге рівняння від першого: $$(4a + 2b + ab) - (a - b + ab) = 7 - 1 \Rightarrow 3a + 3b = 6 \Rightarrow a + b = 2.$$ Звідси $b = 2 - a$. Підставимо цей вираз у друге рівняння системи: $$a - (2 - a) + a(2 - a) = 1 \Rightarrow a - 2 + a + 2a - a^2 = 1 \Rightarrow -a^2 + 4a - 3 = 0.$$ Помножимо на $-1$: $a^2 - 4a + 3 = 0$. За теоремою Вієта: $a_1 = 1, a_2 = 3$.

4) Знайдемо відповідні значення $b$: якщо $a = 1$, то $b = 2 - 1 = 1$; якщо $a = 3$, то $b = 2 - 3 = -1$.