ГДЗ до вправи 6.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.15
Розв’яжіть рівняння:
- $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$;
- $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$;
- $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$;
- $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Розв'язок вправи № 6.15
Коротке рішення
1) $x = 1$ — корінь. $(x - 1)(x^2 + 2x - 2) = 0 \Rightarrow x \in \{1; -1 \pm \sqrt{3}\}$.
2) $x = 2$ — корінь. $(x - 2)(x^2 + x - 6) = 0 \Rightarrow (x - 2)^2(x + 3) = 0 \Rightarrow x \in \{2; -3\}$.
3) $x = -1$ — корінь. $(x + 1)(x^2 + 3x + 2) = 0 \Rightarrow (x + 1)^2(x + 2) = 0 \Rightarrow x \in \{-1; -2\}$.
4) $x = 1, x = -1$ — корені. $(x^2 - 1)(x^2 + 4x - 1) = 0 \Rightarrow x \in \{1; -1; -2 \pm \sqrt{5}\}$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Для рівнянь вищих степенів шукаємо цілі корені серед дільників вільного члена. Якщо $P(c) = 0$, то многочлен ділиться націло на $(x - c)$. Після ділення розв'язуємо рівняння меншого степеня. Тема: Функції та їх властивості.
1) $x^3 + x^2 - 4x + 2 = 0$: Вільний член 2 має дільники $\pm 1; \pm 2$. Перевіркою знаходимо $x = 1$. Ділимо многочлен на $(x - 1)$, отримуємо $(x - 1)(x^2 + 2x - 2) = 0$. Корені квадратного рівняння: $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
2) $x^3 - x^2 - 8x + 12 = 0$: Дільники 12: $\pm 1; \pm 2; \dots$. Знаходимо $x = 2$. Після ділення на $(x - 2)$ маємо $(x - 2)(x^2 + x - 6) = 0$. Тричлен розкладається як $(x - 2)(x + 3)$. Відповідь: $2$ та $-3$.
3) $x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0$: Знаходимо корінь $x = -1$. Ділимо на $(x + 1)$, отримуємо частку $x^2 + 3x + 2$. Її корені за теоремою Вієта: $-1$ та $-2$. Відповідь: $-1$ та $-2$.
4) $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$: Сума коефіцієнтів $1+4-2-4+1 = 0$, отже $x = 1$ — корінь. Сума при парних степенях дорівнює сумі при непарних ($1-2+1 = 0$ та $4-4 = 0$), отже $x = -1$ — корінь. Ділимо на $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$, отримуємо $x^2 + 4x - 1 = 0$. Корені: $x = -2 \pm \sqrt{5}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.