ГДЗ до вправи 6.16 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $P(a) = a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$.

За теоремою Безу, якщо $P(b) = 0$, то многочлен ділиться на $(a - b)$:

$$P(b) = b^3(b - c) + b^3(c - b) + c^3(b - b) = b^3(b - c) - b^3(b - c) + 0 = 0$$

Отже, вираз ділиться на $(a - b)$. Через симетричність змінних, вираз також ділиться на $(b - c)$ та $(c - a)$.

Оскільки всі лінійні множники є взаємно простими, то вираз ділиться на їхній добуток. Доведено.

Розглянемо заданий вираз як функцію від змінної $a$, де $b$ та $c$ — параметри: $$P(a) = a^3(b - c) + b^3(c - a) + c^3(a - b)$$

1) Перевіримо подільність на $(a - b)$. Для цього підставимо $a = b$: $$P(b) = b^3(b - c) + b^3(c - b) + c^3(b - b) = b^3(b - c) - b^3(b - c) + 0 = 0$$ За теоремою Безу, вираз ділиться на $(a - b)$.

2) Перевіримо подільність на $(a - c)$. Підставимо $a = c$: $$P(c) = c^3(b - c) + b^3(c - c) + c^3(c - b) = c^3(b - c) + 0 - c^3(b - c) = 0$$ Вираз ділиться на $(a - c)$, а отже і на $(c - a)$.

3) Аналогічно, розглядаючи вираз як функцію від $b$, можна довести подільність на $(b - c)$. Оскільки ці лінійні множники є незалежними, то весь вираз ділиться на їхній добуток $(a - b)(b - c)(c - a)$. Доведено.