ГДЗ до вправи 6.9 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.9
Доведіть, що многочлен, який тотожно дорівнює виразу $(x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$, де $n \in \mathbb{N}$, ділиться націло на многочлен $x^2 - x$.
Розв'язок вправи № 6.9
Коротке рішення
Нехай $P(x) = (x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$, $D(x) = x^2 - x = x(x - 1)$.
Перевіримо подільність за допомогою нулів дільника $x_1 = 0$ та $x_2 = 1$:
- $P(0) = (0 + 0 - 1)^{2n} + (0 - 0 + 1)^{2n} - 2 = (-1)^{2n} + 1^{2n} - 2$. Оскільки $2n$ парне, $(-1)^{2n} = 1 \Rightarrow 1 + 1 - 2 = 0$.
- $P(1) = (1 + 1 - 1)^{2n} + (1 - 1 + 1)^{2n} - 2 = 1^{2n} + 1^{2n} - 2 =$
$ = 1 + 1 - 2 = 0$.
Оскільки $P(0) = 0$ та $P(1) = 0$, то $P(x)$ ділиться на $x$ та на $(x - 1)$, а отже, і на їхній добуток $x^2 - x$. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Многочлен ділиться націло на добуток лінійних множників, якщо він дорівнює нулю при значеннях $x$, що є коренями цих множників. Тема: Функції та їх властивості.
Заданий многочлен $P(x) = (x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$. Нам потрібно довести його подільність на $D(x) = x^2 - x$. Розкладемо дільник на множники: $D(x) = x(x - 1)$.
Згідно з наслідком із теореми Безу, многочлен ділиться на $x - c$ тоді й тільки тоді, коли число $c$ є коренем цього многочлена. Наш дільник має корені $0$ та $1$.
1) Перевіримо $x = 0$: $$P(0) = (0^2 + 0 - 1)^{2n} + (0^2 - 0 + 1)^{2n} - 2 = (-1)^{2n} + 1^{2n} - 2.$$ Оскільки показник степеня $2n$ є парним числом для будь-якого $n \in \mathbb{N}$, то $(-1)^{2n} = 1$. Отримуємо: $$P(0) = 1 + 1 - 2 = 0.$$ Отже, $P(x)$ ділиться на $x$.
2) Перевіримо $x = 1$: $$P(1) = (1^2 + 1 - 1)^{2n} + (1^2 - 1 + 1)^{2n} - 2 = 1^{2n} + 1^{2n} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.$$ Отже, $P(x)$ ділиться на $(x - 1)$.
Оскільки многочлен ділиться на два взаємно прості множники $x$ та $x - 1$, він ділиться і на їхній добуток $x(x - 1) = x^2 - x$. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.