ГДЗ до вправи 6.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Нехай $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. За теоремою Безу маємо систему:

$$\begin{cases} P(1) = 0 \\ P(-2) = 0 \\ P(-1) = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 + a + b + c = 0 \\ -8 + 4a - 2b + c = 0 \\ -1 + a - b + c = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b + c = -1 \\ 4a - 2b + c = 8 \\ a - b + c = 11 \end{cases}$$

Віднімемо третє рівняння від першого: $2b = -12 \Rightarrow b = -6$.

Підставимо $b = -6$: $\begin{cases} a + c = 5 \\ 4a + c = -4 \end{cases} \Rightarrow 3a = -9 \Rightarrow a = -3$.

Знайдемо $c$: $-3 + c = 5 \Rightarrow c = 8$.

Відповідь: $a = -3, b = -6, c = 8$.

Нехай задано многочлен $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Скористаємося теоремою Безу для кожної умови:

1. Ділиться націло на $(x - 1) \Rightarrow P(1) = 0$.
   $1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 \Rightarrow a + b + c = -1$.
2. Ділиться націло на $(x + 2) \Rightarrow P(-2) = 0$.
   $(-2)^3 + a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = 0 \Rightarrow 4a - 2b + c = 8$.
3. Остача від ділення на $(x + 1)$ дорівнює $10 \Rightarrow P(-1) = 10$.
   $(-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 10 \Rightarrow a - b + c = 11$.

Розв’яжемо отриману систему рівнянь:

1) Віднімемо від першого рівняння третє: $(a + b + c) - (a - b + c) = -1 - 11 \Rightarrow 2b = -12 \Rightarrow b = -6$.

2) Підставимо $b = -6$ у перше та друге рівняння:

$$\begin{cases} a - 6 + c = -1 \\ 4a + 12 + c = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + c = 5 \\ 4a + c = -4 \end{cases}$$

3) Віднімемо від другого рівняння перше: $3a = -9 \Rightarrow a = -3$.

4) Знайдемо $c$: $-3 + c = 5 \Rightarrow c = 8$.

Отже, параметри мають значення: $a = -3, b = -6, c = 8$.