ГДЗ до вправи 6.8 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.8
Доведіть, що многочлен, який тотожно дорівнює виразу $(x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$, де $n \in \mathbb{N}$, ділиться націло на многочлен, який тотожно дорівнює виразу $x(x + 1)(2x + 1)$.
Розв'язок вправи № 6.8
Коротке рішення
Нехай $P(x) = (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$, $D(x) = x(x + 1)(2x + 1)$.
Корені дільника $D(x)$: $x_1 = 0, \ x_2 = -1, \ x_3 = -0,5$. Перевіримо їх за теоремою Безу:
- $P(0) = (0 + 1)^{2n} - 0^{2n} - 2(0) - 1 = 1 - 0 - 0 - 1 = 0$;
- $P(-1) = (-1 + 1)^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1 = 0 - 1 + 2 - 1 = 0$;
- $P(-0,5) = (-0,5 + 1)^{2n} - (-0,5)^{2n} - 2(-0,5) - 1 =$
$ = (0,5)^{2n} - (0,5)^{2n} + 1 - 1 = 0$.
Оскільки всі корені дільника є коренями діленого, то $P(x) \vdots D(x)$. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Щоб довести подільність многочлена $P(x)$ на многочлен $D(x)$, який має вигляд добутку лінійних множників, достатньо перевірити, чи є всі нулі многочлена $D(x)$ одночасно нулями многочлена $P(x)$. Тема: Функції та їх властивості.
Нехай заданий многочлен $P(x) = (x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$. Нам потрібно довести, що він ділиться на $D(x) = x(x + 1)(2x + 1)$. Дільник $D(x)$ має три корені: $0$, $-1$ та $-0,5$ (корінь рівняння $2x + 1 = 0$).
1) Перевіримо $x = 0$: $$P(0) = (0 + 1)^{2n} - 0^{2n} - 2 \cdot 0 - 1 = 1^{2n} - 1 = 1 - 1 = 0.$$ Це означає, що $P(x)$ ділиться на $x$.
2) Перевіримо $x = -1$: $$P(-1) = (-1 + 1)^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1 = 0^{2n} - 1 + 2 - 1 = 0.$$ Це означає, що $P(x)$ ділиться на $(x + 1)$.
3) Перевіримо $x = -0,5$: $$P(-0,5) = (-0,5 + 1)^{2n} - (-0,5)^{2n} - 2(-0,5) - 1 = (0,5)^{2n} - (0,5)^{2n} + 1 - 1 = 0.$$ Оскільки показник $2n$ парний, $(-0,5)^{2n} = (0,5)^{2n}$. Результат дорівнює нулю, отже $P(x)$ ділиться на $(2x + 1)$.
Оскільки многочлен $P(x)$ ділиться на кожний із трьох взаємно простих множників, він ділиться і на їхній добуток. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.