ГДЗ до вправи 6.11 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.11
При яких значеннях параметра $b$ многочлен $x^3 + 3x^2 - bx + 6$ ділиться націло на двочлен $x + 2$?
Розв'язок вправи № 6.11
Коротке рішення
Нехай $A(x) = x^3 + 3x^2 - bx + 6$. Умова подільності: $A(-2) = 0$.
$$(-2)^3 + 3(-2)^2 - b(-2) + 6 = 0$$
$$-8 + 12 + 2b + 6 = 0$$
$$10 + 2b = 0 \Rightarrow b = -5$$
Відповідь: $-5$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Многочлен ділиться націло на двочлен $(x - c)$, якщо значення многочлена в точці $c$ дорівнює нулю. Для дільника $(x + 2)$ беремо $c = -2$. Тема: Функції та їх властивості.
Розглянемо многочлен $A(x) = x^3 + 3x^2 - bx + 6$. Згідно з наслідком із теореми Безу, для того щоб $A(x)$ ділився на $(x + 2)$ без остачі, необхідно і достатньо, щоб число $-2$ було коренем цього многочлена.
1) Підставимо $x = -2$ у вираз:
$$A(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - b \cdot (-2) + 6$$
$$A(-2) = -8 + 3 \cdot 4 + 2b + 6 = -8 + 12 + 2b + 6 = 10 + 2b$$
2) Прирівняємо отриманий вираз до нуля:
$$10 + 2b = 0$$
$$2b = -10$$
$$b = -5$$
Отже, при $b = -5$ многочлен ділиться на $x + 2$ націло.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.