ГДЗ до вправи 6.17 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 + z^3 - 3xyz$

$= ((x + y)^3 + z^3) - 3xy(x + y + z)$

$= (x + y + z)((x + y)^2 - (x + y)z + z^2) - 3xy(x + y + z)$

$= (x + y + z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2 - 3xy)$

$= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)$

$\dfrac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{x + y + z} = x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz$. Доведено.

1) Розглянемо частину виразу $x^3 + y^3$. Згадаємо формулу куба суми $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2$, звідки випливає, що $x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$.

2) Підставимо це перетворення в наш початковий вираз:

$$(x^3 + y^3) + z^3 - 3xyz = (x + y)^3 - 3xy(x + y) + z^3 - 3xyz$$

3) Згрупуємо доданки з кубами та винесемо спільний множник $-3xy$:

$$((x + y)^3 + z^3) - 3xy(x + y + z)$$

4) Тепер застосуємо до першої дужки формулу суми кубів $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, де $A = x + y$, а $B = z$:

$$(x + y + z)((x + y)^2 - (x + y)z + z^2) - 3xy(x + y + z)$$

5) Ми бачимо спільний множник $(x + y + z)$ в обох частинах виразу. Винесемо його за загальні дужки:

$$(x + y + z) \cdot [ (x + y)^2 - (x + y)z + z^2 - 3xy ]$$

6) Розкривши внутрішні дужки та спростивши вираз, ми отримаємо добуток, один із множників якого дорівнює $(x + y + z)$. Це означає, що весь вираз ділиться на нього націло. Доведено.