ГДЗ до вправи 6.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

1) Корені серед дільників 15: $x = -1$ є коренем. $(x + 1)(x^2 + 8x + 15) = 0$.
Відповідь: $-1; -3; -5$.

2) Корені серед $\pm 1, \pm 2, \pm 1/2$: $x = -1$ є коренем. $(x + 1)(2x^2 - 3x - 2) = 0$.
Відповідь: $-1; 2; -0,5$.

3) Корені серед $\pm 1, \dots$: $x = 1$ та $x = -1$ є коренями. $(x^2 - 1)(3x^2 + 5x + 2) = 0$.
Відповідь: $1; -1; -\frac{2}{3}$.

4) Корені серед $\pm 1, \pm 2, \dots$: $x = 1$ та $x = -2$ є коренями. $(x - 1)(x + 2)(5x^2 + 4x + 4) = 0$.
Відповідь: $1; -2$.

1) $x^3 + 9x^2 + 23x + 15 = 0$: Вільний член 15 має дільники $\pm 1, \pm 3, \dots$. Перевіркою знаходимо $x = -1$: $(-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0$. Поділимо многочлен на $(x + 1)$, отримаємо $(x + 1)(x^2 + 8x + 15) = 0$. Корені квадратного тричлена: $-3$ та $-5$.

2) $2x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$: Дільники 2: $\pm 1, \pm 2$. Перевіркою $x = -1$ є коренем. Поділивши на $(x + 1)$, маємо $(x + 1)(2x^2 - 3x - 2) = 0$. Корені рівняння $2x^2 - 3x - 2 = 0$: $x = 2$ та $x = -0,5$.

3) $3x^4 + 5x^3 - x^2 - 5x - 2 = 0$: Сума коефіцієнтів дорівнює нулю ($3+5-1-5-2=0$), отже $x = 1$ — корінь. Сума коефіцієнтів при парних та непарних степенях однакова, отже $x = -1$ — корінь. Ділимо многочлен на $(x^2 - 1)$, отримуємо частку $3x^2 + 5x + 2$. Її корені: $-1$ та $-2/3$.

4) $5x^4 + 9x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$: Знаходимо корінь $x = 1$ (сума коефіцієнтів 0) та корінь $x = -2$. Поділивши многочлен на $(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$, отримуємо частку $5x^2 + 4x + 4$. Оскільки дискримінант цієї частки $D = 16 - 80 = -64 < 0$, дійсних коренів вона не має.