ГДЗ до вправи 6.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 6.7
Доведіть, що $(x^n - a^n) \vdots (x^k - a^k)$, якщо $n \vdots k$, $n \in \mathbb{N}$, $k \in \mathbb{N}$.
Розв'язок вправи № 6.7
Коротке рішення
Нехай $n = mk$, де $m \in \mathbb{N}$.
$$x^n - a^n = x^{mk} - a^{mk} = (x^k)^m - (a^k)^m$$
Використовуючи формулу $y^m - z^m = (y - z)(y^{m-1} + y^{m-2}z + \dots + z^{m-1})$, маємо:
$$(x^k)^m - (a^k)^m = (x^k - a^k) \cdot \left( (x^k)^{m-1} + (x^k)^{m-2} a^k + \dots + (a^k)^{m-1} \right)$$
Оскільки один із множників дорівнює $(x^k - a^k)$, то $(x^n - a^n) \vdots (x^k - a^k)$. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Доведення базується на використанні властивостей степенів та загальної формули розкладання різниці $m$-тих степенів на множники. Тема: Функції та їх властивості.
1) За умовою $n$ ділиться на $k$ націло, отже існує таке натуральне число $m$, що $n = m \cdot k$.
2) Перепишемо вираз $x^n - a^n$, замінивши $n$ на $mk$: $$x^n - a^n = x^{mk} - a^{mk}$$ Скориставшись властивістю степенів $x^{mk} = (x^k)^m$, отримаємо: $$(x^k)^m - (a^k)^m$$
3) Розглянемо отриманий вираз як різницю $m$-тих степенів виразів $x^k$ та $a^k$. За відомою формулою: $$y^m - z^m = (y - z)(y^{m-1} + y^{m-2}z + \dots + z^{m-1})$$ Підставимо $y = x^k$ та $z = a^k$: $$(x^k)^m - (a^k)^m = (x^k - a^k) \cdot Q(x),$$ де $Q(x)$ — многочлен відносно $x$.
4) Оскільки вираз $x^n - a^n$ вдалося представити у вигляді добутку, одним із множників якого є $(x^k - a^k)$, це означає, що початковий многочлен ділиться на нього націло. Доведено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.