ГДЗ до вправи 8.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Функція $f(x) = x^8$ спадає на $(-\infty; 0]$ і зростає на $[0; +\infty)$.

1) $[0; 2] \subset [0; +\infty) \Rightarrow \min f(x) = f(0) = 0; \max f(x) = f(2) = 256$.

2) $[-2; -1] \subset (-\infty; 0] \Rightarrow \min f(x) = f(-1) = 1; \max f(x) = f(-2) = 256$.

3) $[-1; 1]$ містить $0 \Rightarrow \min f(x) = f(0) = 0; \max f(x) = f(-1) = f(1) = 1$.

4) $(-\infty; -2] \subset (-\infty; 0] \Rightarrow \min f(x) = f(-2) = 256; \text{ найбільшого немає}$.

5) $(-2; 1)$ містить $0 \Rightarrow \min f(x) = f(0) = 0; \text{ найбільшого немає}$.

Аналізуємо функцію $f(x) = x^8$:

• У першому випадку: Відрізок $[0; 2]$ лежить у зоні зростання функції. Значить, чим більше $x$, тим більше $y$. Найменше в точці $0$ ($0^8=0$), найбільше в точці $2$ ($2^8=256$).
• У другому випадку: Відрізок $[-2; -1]$ лежить у зоні спадання. Тут все навпаки: меншому $x$ відповідає більше значення. Найбільше при $x = -2$ ($256$), найменше при $x = -1$ ($1$).
• У третьому випадку: Відрізок $[-1; 1]$ включає вершину параболи (0; 0). Тому найменше значення — це $0$. Оскільки кінці відрізка рівновіддалені від нуля, найбільше значення в них однакове — $1$.
• У четвертому випадку: Промінь $(-\infty; -2]$. Функція спадає, прямуючи до $+\infty$ ліворуч. Найбільшого значення не існує, а найменше досягається в "найправішій" точці променя — $x = -2$ ($256$).
• У п'ятому випадку: Інтервал $(-2; 1)$. Вершина $x=0$ входить, отже мінімум $0$. Найбільше значення було б у точці $-2$, але оскільки дужка кругла (точка не входить), найбільшого значення функція на цьому інтервалі не досягає.