Розв'язання вправи № 81 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Подайте вираз у вигляді дробу:
1) $(1 + a^{-3})(1 + a)^{-2}$;
2) $\left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right) \cdot (y - x)^{-1}$.
Короткий розв'язок
1) $(1 + a^{-3})(1 + a)^{-2} = \frac{a^3+1}{a^3} \cdot \frac{1}{(1+a)^2} = \frac{(a+1)(a^2-a+1)}{a^3(a+1)^2} = \frac{a^2-a+1}{a^3(a+1)}$.
2) $\left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right) \cdot (y - x)^{-1} = (x - y) \cdot \frac{1}{y-x} = -(y-x) \cdot \frac{1}{y-x} = -1$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості степеня з цілим від'ємним показником ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$) та формули скороченого множення, зокрема суму кубів ($a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$).
1) $(1 + a^{-3})(1 + a)^{-2}$
Перетворимо кожен множник, використовуючи означення степеня з від'ємним показником:
$1 + a^{-3} = 1 + \frac{1}{a^3} = \frac{a^3}{a^3} + \frac{1}{a^3} = \frac{a^3+1}{a^3}$.
$(1 + a)^{-2} = \frac{1}{(1+a)^2}$.
Тепер перемножимо отримані дроби:
Застосуємо формулу суми кубів для чисельника $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$:
Скоротимо дріб на спільний множник $(a+1)$:
2) $\left(\frac{1}{x^{-1}} - \frac{1}{y^{-1}}\right) \cdot (y - x)^{-1}$
Спростимо вираз у перших дужках:
$\frac{1}{x^{-1}} = x^1 = x$.
$\frac{1}{y^{-1}} = y^1 = y$.
Отже, перший множник дорівнює $(x-y)$.
Спростимо другий множник:
$(y-x)^{-1} = \frac{1}{y-x}$.
Тепер виконаємо множення:
Щоб скоротити дріб, винесемо $-1$ за дужки в першому множнику: $x-y = -(y-x)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.