Розв'язання вправи № 82 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Обчисліть:
Короткий розв'язок
$\frac{0,6^{-4} \cdot \left(1\frac{2}{3}\right)^{-6}}{(0,36)^{-5} \cdot \left(2\frac{7}{9}\right)^{-6}} = \frac{(0,6)^{-4} \cdot (\frac{5}{3})^{-6}}{(0,6^2)^{-5} \cdot ((\frac{5}{3})^2)^{-6}} = \frac{0,6^{-4} \cdot (\frac{5}{3})^{-6}}{0,6^{-10} \cdot (\frac{5}{3})^{-12}} = 0,6^{-4 - (-10)} \cdot (\frac{5}{3})^{-6 - (-12)} = 0,6^6 \cdot (\frac{5}{3})^6 = (0,6 \cdot \frac{5}{3})^6 = (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3})^6 = 1^6 = 1$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для спрощення цього виразу найзручніше звести всі основи степенів до спільних чисел та використати властивості степеня, такі як $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ та $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Подамо всі десяткові та мішані дроби у вигляді звичайних дробів або степенів одних і тих самих чисел.
$0,6 = \frac{3}{5}$
$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$
$0,36 = 0,6^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2$
$2\frac{7}{9} = \frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2$
Тепер підставимо ці значення у вихідний вираз:
Розкриємо дужки в знаменнику, використовуючи властивість $(a^m)^n = a^{mn}$:
Тепер згрупуємо степені з однаковими основами і застосуємо властивість $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
Використаємо властивість $(ab)^n = a^n b^n$:
