Розв'язання вправи № 84 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Спростіть вираз:

$$ \left(\frac{1}{b^{-8}} - \frac{1}{a^{-8}}\right) \cdot \left(\frac{a^{-8} + b^{-8}}{a^{-16} - b^{-16}}\right) $$

Короткий розв'язок

$\left(b^8 - a^8\right) \cdot \frac{a^{-8} + b^{-8}}{(a^{-8} - b^{-8})(a^{-8} + b^{-8})} = \left(b^8 - a^8\right) \cdot \frac{1}{a^{-8} - b^{-8}} = \left(b^8 - a^8\right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{a^8} - \frac{1}{b^8}} = \left(b^8 - a^8\right) \cdot \frac{a^8 b^8}{b^8 - a^8} = a^8 b^8 = (ab)^8$.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Використовуємо властивості степеня з цілим від'ємним показником ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$) та формулу різниці квадратів ($x^2-y^2=(x-y)(x+y)$).

Спростимо вираз по кроках. Спочатку попрацюємо з кожним множником окремо.

1. Спрощення першого множника: $\left(\frac{1}{b^{-8}} - \frac{1}{a^{-8}}\right)$

За означенням $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, маємо $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

Тому:

$$ \frac{1}{b^{-8}} = b^8 \quad \text{і} \quad \frac{1}{a^{-8}} = a^8 $$

Отже, перший множник дорівнює:

$$ b^8 - a^8 $$

2. Спрощення другого множника: $\left(\frac{a^{-8} + b^{-8}}{a^{-16} - b^{-16}}\right)$

Знаменник $a^{-16} - b^{-16}$ можна розкласти за формулою різниці квадратів, враховуючи, що $a^{-16} = (a^{-8})^2$ і $b^{-16} = (b^{-8})^2$.

$$ a^{-16} - b^{-16} = (a^{-8} - b^{-8})(a^{-8} + b^{-8}) $$

Тепер підставимо це у дріб:

$$ \frac{a^{-8} + b^{-8}}{(a^{-8} - b^{-8})(a^{-8} + b^{-8})} $$