До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №67

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 67

Розв’яжіть способом підстановки систему рівнянь:

1)

{3x=12,2x+3y=2;\begin{cases} 3x = 12, \\ 2x + 3y = 2; \end{cases}

2)

{x=y−2,4x−3y=−5;\begin{cases} x = y - 2, \\ 4x - 3y = -5; \end{cases}

3)

{3x+y=3,4x+5y=−7.\begin{cases} 3x + y = 3, \\ 4x + 5y = -7. \end{cases}

Розв'язок вправи № 67

Короткий розв'язок

1) {3x=122x+3y=2  ⟹  {x=42(4)+3y=2  ⟹  {x=43y=−6  ⟹  {x=4y=−2\begin{cases} 3x = 12 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ 2(4) + 3y = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ 3y = -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = -2 \end{cases}

2) {x=y−24x−3y=−5  ⟹  {x=y−24(y−2)−3y=−5  ⟹  {x=y−2y=3  ⟹  {x=1y=3\begin{cases} x = y - 2 \\ 4x - 3y = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x = y - 2 \\ 4(y-2) - 3y = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x = y - 2 \\ y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}

3) {3x+y=34x+5y=−7  ⟹  {y=3−3x4x+5(3−3x)=−7  ⟹  {y=3−3x−11x=−22  ⟹  {y=−3x=2\begin{cases} 3x + y = 3 \\ 4x + 5y = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 3 - 3x \\ 4x + 5(3-3x) = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 3 - 3x \\ -11x = -22 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -3 \\ x = 2 \end{cases}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: метод підстановки полягає в тому, щоб в одному з рівнянь виразити одну змінну через іншу і підставити отриманий вираз в інше рівняння системи. Це дозволяє звести систему до рівняння з однією невідомою.

1) Розв'яжемо систему {3x=12,2x+3y=2\begin{cases} 3x = 12, \\ 2x + 3y = 2 \end{cases}

З першого рівняння легко знайти значення xx:

3x=123x = 12
x=12/3x = 12 / 3
x=4x = 4

Тепер підставимо знайдене значення x=4x = 4 у друге рівняння:

2(4)+3y=22(4) + 3y = 2
8+3y=28 + 3y = 2

Розв'яжемо отримане рівняння відносно yy:

3y=2−83y = 2 - 8
3y=−63y = -6
y=−2y = -2

Відповідь: (4; -2).

2) Розв'яжемо систему {x=y−2,4x−3y=−5\begin{cases} x = y - 2, \\ 4x - 3y = -5 \end{cases}

У першому рівнянні змінна xx вже виражена через yy. Підставимо цей вираз у друге рівняння:

4(y−2)−3y=−54(y - 2) - 3y = -5

Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки:

4y−8−3y=−54y - 8 - 3y = -5
y−8=−5y - 8 = -5
y=−5+8y = -5 + 8
y=3y = 3

Тепер підставимо значення y=3y = 3 у вираз для xx:

x=3−2x = 3 - 2
x=1x = 1

Відповідь: (1; 3).

3) Розв'яжемо систему {3x+y=3,4x+5y=−7\begin{cases} 3x + y = 3, \\ 4x + 5y = -7 \end{cases}

З першого рівняння зручно виразити yy через xx:

y=3−3xy = 3 - 3x

Підставимо цей вираз у друге рівняння системи:

4x+5(3−3x)=−74x + 5(3 - 3x) = -7

Розв'яжемо отримане рівняння:

4x+15−15x=−74x + 15 - 15x = -7
−11x=−7−15-11x = -7 - 15
−11x=−22-11x = -22
x=2x = 2

Знайдемо відповідне значення yy, підставивши x=2x=2 у вираз y=3−3xy = 3 - 3x:

y=3−3(2)y = 3 - 3(2)
y=3−6y = 3 - 6
y=−3y = -3

Відповідь: (2; -3).