До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №70

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 70

Розв’яжіть способом додавання систему рівнянь:

1)

{x+3y=1,−x+4y=6;\begin{cases} x + 3y = 1, \\ -x + 4y = 6; \end{cases}

2)

{3x−5y=11,4x−5y=13;\begin{cases} 3x - 5y = 11, \\ 4x - 5y = 13; \end{cases}

3)

{4x−3y=15,8x+5y=19.\begin{cases} 4x - 3y = 15, \\ 8x + 5y = 19. \end{cases}

Розв'язок вправи № 70

Короткий розв'язок

1) {x+3y=1−x+4y=6  ⟹  7y=7  ⟹  y=1  ⟹  x+3(1)=1  ⟹  x=−2\begin{cases} x + 3y = 1 \\ -x + 4y = 6 \end{cases} \implies 7y = 7 \implies y=1 \implies x+3(1)=1 \implies x=-2.

2) {3x−5y=114x−5y=13  ⟹  −x=−2  ⟹  x=2  ⟹  3(2)−5y=11  ⟹  y=−1\begin{cases} 3x - 5y = 11 \\ 4x - 5y = 13 \end{cases} \implies -x = -2 \implies x=2 \implies 3(2)-5y=11 \implies y=-1.

3) {4x−3y=158x+5y=19  ⟹  {−8x+6y=−308x+5y=19  ⟹  11y=−11  ⟹  y=−1  ⟹  4x−3(−1)=15  ⟹  x=3\begin{cases} 4x - 3y = 15 \\ 8x + 5y = 19 \end{cases} \implies \begin{cases} -8x + 6y = -30 \\ 8x + 5y = 19 \end{cases} \implies 11y=-11 \implies y=-1 \implies 4x-3(-1)=15 \implies x=3.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: обираючи спосіб додавання, ми шукаємо можливість виключити одну зі змінних. Іноді для цього достатньо просто додати або відняти рівняння, а іноді одне з них потрібно попередньо помножити на число, щоб коефіцієнти стали однаковими або протилежними.

1) Розв'яжемо систему {x+3y=1,−x+4y=6\begin{cases} x + 3y = 1, \\ -x + 4y = 6 \end{cases}

Коефіцієнти біля xx є протилежними (1 та -1). Додамо рівняння, щоб виключити xx:

(x−x)+(3y+4y)=1+6(x - x) + (3y + 4y) = 1 + 6
7y=77y = 7
y=1y = 1

Підставимо y=1y=1 у перше рівняння, щоб знайти xx:

x+3(1)=1x + 3(1) = 1
x+3=1x + 3 = 1
x=1−3x = 1 - 3
x=−2x = -2

Відповідь: (-2; 1).

2) Розв'яжемо систему {3x−5y=11,4x−5y=13\begin{cases} 3x - 5y = 11, \\ 4x - 5y = 13 \end{cases}

Коефіцієнти біля yy однакові (-5). Щоб виключити yy, віднімемо друге рівняння від першого:

(3x−4x)+(−5y−(−5y))=11−13(3x - 4x) + (-5y - (-5y)) = 11 - 13
−x=−2-x = -2
x=2x = 2

Підставимо x=2x=2 у перше рівняння системи:

3(2)−5y=113(2) - 5y = 11
6−5y=116 - 5y = 11
−5y=11−6-5y = 11 - 6
−5y=5-5y = 5
y=−1y = -1

Відповідь: (2; -1).

3) Розв'яжемо систему {4x−3y=15,8x+5y=19\begin{cases} 4x - 3y = 15, \\ 8x + 5y = 19 \end{cases}

Щоб коефіцієнти біля xx стали протилежними (-8 та 8), помножимо перше рівняння на -2:

−2⋅(4x−3y)=−2⋅15-2 \cdot (4x - 3y) = -2 \cdot 15
−8x+6y=−30-8x + 6y = -30

Тепер додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

(−8x+6y)+(8x+5y)=−30+19(-8x + 6y) + (8x + 5y) = -30 + 19
11y=−1111y = -11
y=−1y = -1

Підставимо y=−1y=-1 у перше початкове рівняння:

4x−3(−1)=154x - 3(-1) = 15
4x+3=154x + 3 = 15
4x=124x = 12
x=3x = 3

Відповідь: (3; -1).