ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1287

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О.С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 1287

Доведіть, що рівняння з двома змінними не має розв’язків:

1) $x^2 + y^2 = -4;$

2) $|x| + y^2 + 1 = 0;$

3) $-|x| - |y| = 5;$

4) $2x^4 + 3|y| = -2.$

Розв'язок вправи № 1287

Коротке рішення

1) $x^2 + y^2 = -4.$ Оскільки $x^2 \geq 0$ та $y^2 \geq 0,$ то $x^2 + y^2 \geq 0.$ Ліва частина невід'ємна, а права — від'ємна ($-4$). Розв'язків немає.

2) $|x| + y^2 + 1 = 0.$ Оскільки $|x| \geq 0$ та $y^2 \geq 0,$ то $|x| + y^2 + 1 \geq 1.$ Сума не може дорівнювати $0.$ Розв'язків немає.

3) $-|x| - |y| = 5.$ Оскільки $-|x| \leq 0$ та $-|y| \leq 0,$ то їхня сума $-|x| - |y| \leq 0.$ Вона не може дорівнювати додатному числу $5.$ Розв'язків немає.

4) $2x^4 + 3|y| = -2.$ Оскільки $x^4 \geq 0$ та $|y| \geq 0,$ то $2x^4 + 3|y| \geq 0.$ Ліва частина не може дорівнювати від'ємному числу $-2.$ Розв'язків немає.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Для доведення ми використовуємо фундаментальні властивості чисел: парний степінь ($x^2, x^4$) та модуль ($|x|$) будь-якого числа завжди є невід'ємними. Більше про означення рівнянь читайте у розділі що таке рівняння та його корінь.

Розв'язати рівняння — це знайти такі значення змінних, які перетворять його на правильну рівність. У цих прикладах ми бачимо "математичну неможливість". Наприклад, у першому пункті сума двох квадратів має дати від'ємне число. Але квадрат будь-якого числа (додатного чи від'ємного) завжди або більше нуля, або дорівнює йому. Сума двох таких чисел ніяк не може стати мінусовою. Аналогічно в інших прикладах: ми порівнюємо ліву частину, яка за своєю природою завжди є нулем або більше, з правою частиною, яка суперечить цій природі (є від'ємною або вимагає суми, меншої за мінімально можливу). Саме цей логічний конфлікт доводить, що жодна пара чисел не задовольнить ці умови.