ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1290

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Умова вправи № 1290

Побудуйте в одній координатній площині графіки рівнянь $x + y = 5$ і $7x - 4y = 2$. Знайдіть координати точки їх перетину. Переконайтеся, що знайдена пара є розв’язком кожного з рівнянь.

Розв'язок вправи № 1290

Коротке рішення

1) Знайдемо точки для побудови:

$x + y = 5 \implies y = 5 - x. \\ Точки: (0; 5), (5; 0);$

$7x - 4y = 2 \implies 4y = 7x - 2 \implies y = 1,75x - 0,5.$

Точки: $(2; 3), (6; 10).$

2) Побудуємо графіки. Точка перетину — (2; 3).

Графічне розв'язання системи рівнянь до вправи 1290

3) Перевірка:

$2 + 3 = 5 \implies 5 = 5;$ (Вірно)

$7 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 14 - 12 = 2 \implies 2 = 2.$ (Вірно)

Відповідь: (2; 3).

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Знайти точку перетину графіків — це означає знайти розв'язок системи цих рівнянь графічним способом. Детальніше про цей метод читайте у розділі графічний метод розв'язування систем.

Це завдання демонструє, як геометричні побудови допомагають розв'язувати алгебраїчні задачі. Ми накреслили дві прямі лінії в одній системі координат. Перша лінія ($x + y = 5$) — це спадна пряма, що проходить через точки 5 на обох осях. Друга лінія ($7x - 4y = 2$) піднімається вгору під гострим кутом. На малюнку ми чітко бачимо, що вони зустрічаються лише в одному місці. Координати цього місця — 2 по горизонталі та 3 по вертикалі. Щоб бути впевненими на 100 %, ми виконали перевірку: підставили ці числа в обидва початкові рівняння. Оскільки в обох випадках ми отримали правильні рівності, пара чисел (2; 3) і є тим єдиним розв'язком, який ми шукали. Це і є суть графічного методу — перетворити абстрактні рівняння на видимі лінії та знайти їх спільну точку.