ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 526

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Доведіть, що для будь-якого значення змінної $m$ вираз $5(m^2 - 3m + 1) - 3m(m - 5)$ набуває лише додатних значень.

$5(m^2 - 3m + 1) - 3m(m - 5) = 5m^2 - 15m + 5 - 3m^2 + 15m = 2m^2 + 5$

Оскільки $m^2 \ge 0$, то $2m^2 \ge 0$. Сума невід'ємного числа $2m^2$ та додатного числа 5 завжди є додатною (не меншою за 5).

Відповідь: вираз завжди набуває додатних значень.

Ключ до розв'язання: Алгоритм доведення включає тотожне спрощення виразу та використання властивості квадрата числа: $x^2 \ge 0$ для будь-якого дійсного $x$. Теорія: Множення одночлена на многочлен та Степінь з натуральним показником.

Розкриваємо перші дужки, множачи 5 на кожен член: $5m^2 - 15m + 5$.
Розкриваємо другі дужки, множачи $-3m$ на $m$ та на $-5$: $-3m^2 + 15m$.
Зводимо подібні доданки: $-15m + 15m = 0$ (члени з невідомим у першому степені взаємознищуються).
Групуємо члени з квадратом: $5m^2 - 3m^2 = 2m^2$.
Отримуємо вираз $2m^2 + 5$. Оскільки квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним ($m^2 \ge 0$), то і $2m^2 \ge 0$. Сума невід'ємного виразу і числа 5 завжди буде більшою за нуль.