ГДЗ до вправи 8.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 8.10
Розв’яжіть рівняння:
- $x^{11} + x^3 = 2$;
- $2x^4 + x^{10} = 3$.
Розв'язок вправи № 8.10
Коротке рішення
1) $f(x) = x^{11} + x^3$. Функція зростаюча на $\mathbb{R}$ як сума двох зростаючих функцій.
При $x = 1: 1^{11} + 1^3 = 1 + 1 = 2$.
Відповідь: $1$.
2) $g(x) = 2x^4 + x^{10}$. Функція парна.
На $[0; +\infty)$ функція зростає, отже має не більше одного кореня.
При $x = 1: 2(1^4) + 1^{10} = 2 + 1 = 3$.
Через парність $x = -1$ також є коренем.
Відповідь: $1; -1$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Якщо функція є строго монотонною (тільки зростає або тільки спадає), то рівняння $f(x) = a$ може мати не більше одного кореня, який можна знайти підбором. Тема: Степенева функція з натуральним показником.
1) Рівняння $x^{11} + x^3 = 2$:
Розглянемо ліву частину як функцію $f(x) = x^{11} + x^3$. Обидва доданки є непарними степеневими функціями, кожна з яких зростає на всій області визначення. Сума двох зростаючих функцій також є зростаючою функцією. Це означає, що рівняння може мати лише один корінь. Легко помітити, що при $x = 1$ рівність виконується ($1 + 1 = 2$). Отже, $x = 1$ — єдиний розв'язок.
2) Рівняння $2x^4 + x^{10} = 3$:
Функція $g(x) = 2x^4 + x^{10}$ складається з парних степенів, тому вона є парною. Її графік симетричний відносно осі $Oy$. На проміжку від $0$ до $+\infty$ ця функція постійно зростає, тому на цій ділянці може бути лише один корінь. Підбором знаходимо, що $x = 1$ підходить ($2 \cdot 1 + 1 = 3$). Оскільки функція парна, то значення в точці $-1$ буде таким самим: $g(-1) = g(1) = 3$. Таким чином, ми знайшли два корені: $1$ та $-1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.