ГДЗ до вправи 8.12 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 8.12
Знайдіть найбільше і найменше значення функції $f(x) = x^8$ на проміжку $[-1; a]$, де $a > -1$.
Розв'язок вправи № 8.12
Коротке рішення
Функція $f(x) = x^8$ парна, спадає на $(-\infty; 0]$, зростає на $[0; +\infty)$.
1) Якщо $-1 < a < 0$: $\min f(x) = f(a) = a^8$; $\max f(x) = f(-1) = 1$.
2) Якщо $0 \le a \le 1$: $\min f(x) = f(0) = 0$; $\max f(x) = f(-1) = 1$.
3) Якщо $a > 1$: $\min f(x) = f(0) = 0$; $\max f(x) = f(a) = a^8$.
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Оскільки показник степеня парний, функція симетрична відносно осі ординат. Її значення залежать від того, чи входить точка $0$ (мінімум) у проміжок, та який з кінців відрізка знаходиться далі від нуля. Тема: Степенева функція з натуральним показником.
Дослідимо функцію $f(x) = x^8$ на відрізку $[-1; a]$ при різних значеннях параметра $a$:
- Випадок 1: $-1 < a < 0$. Увесь відрізок лежить ліворуч від нуля, де функція спадає. Найбільше значення буде у лівій точці: $f(-1) = 1$. Найменше значення буде у правій точці: $f(a) = a^8$.
- Випадок 2: $0 \le a \le 1$. Відрізок містить точку $x = 0$, тому найменше значення дорівнює $f(0) = 0$. Оскільки лівий кінець $-1$ за модулем не менший за правий кінець $a$, то найбільше значення досягається при $x = -1$ і дорівнює $1$.
- Випадок 3: $a > 1$. Відрізок також містить нуль, тому $\min = 0$. Проте тепер правий кінець $a$ знаходиться далі від нуля, ніж лівий кінець $-1$ ($|a| > |-1|$). Тому найбільше значення досягається в точці $a$ і дорівнює $a^8$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.