ГДЗ до вправи 8.14 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Розглянемо значення $x = 1$: $5(1)^{17} - 3(1)^8 = 5 - 3 = 2$. Отже, $x = 1$ є коренем.

Дослідимо інші можливі корені:

• 1) Якщо $x > 1$, то $x^{17} > x^8$ та $x^{17} > 1$.
  $5x^{17} - 3x^8 = 2x^{17} + 3(x^{17} - x^8) > 2(1) + 0 = 2$. Коренів немає.
• 2) Якщо $0 \le x < 1$, то $x^{17} < x^8$ та $x^{17} < 1$.
  $5x^{17} - 3x^8 < 5x^{17} - 3x^{17} = 2x^{17} < 2$. Коренів немає.
• 3) Якщо $x \le 0$, то $5x^{17} \le 0$ та $-3x^8 \le 0$. Сума двох невід'ємних чисел не може дорівнювати $2$.

Відповідь: $1$.

Спробуємо знайти корінь рівняння $5x^{17} - 3x^8 = 2$ серед простих чисел. Підставимо $x = 1$: $$5 \cdot 1^{17} - 3 \cdot 1^8 = 5 - 3 = 2$$ Ми знайшли один розв'язок: $x = 1$. Тепер доведемо, що він єдиний.

1) Розглянемо випадок, коли $x \le 0$. Перший доданок $5x^{17}$ при від'ємних $x$ буде від'ємним або нулем. Другий доданок $-3x^8$ завжди буде від'ємним або нулем (бо $x^8 \ge 0$). Сума двох недодатних чисел не може бути рівною додатному числу $2$. Отже, на проміжку $(-\infty; 0]$ коренів немає.

2) Розглянемо випадок, коли $x > 1$. Перепишемо ліву частину: $2x^{17} + 3x^{17} - 3x^8 = 2x^{17} + 3(x^{17} - x^8)$. Оскільки $x > 1$ і показник $17 > 8$, то $x^{17} > x^8$, тобто дужка додатна. Також $x^{17} > 1$, тому весь вираз більший за $2 \cdot 1 + 0 = 2$. Коренів немає.

3) Розглянемо випадок $0 < x < 1$. Тепер навпаки: $x^{17} < x^8$. Тоді $5x^{17} - 3x^8 < 5x^{17} - 3x^{17} = 2x^{17}$. Оскільки $x < 1$, то $2x^{17} < 2$. Значення виразу завжди менше за $2$. Коренів немає.

Таким чином, єдиним числом, що задовольняє рівняння, є $x = 1$.