ГДЗ до вправи 8.15 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Перевіримо $x = -1$: $11(-1)^{15} + 2(-1)^4 = -11 + 2 = -9$. Отже, $x = -1$ — корінь.

Дослідимо наявність інших коренів:

• 1) При $x \ge 0$: $11x^{15} \ge 0$, $2x^4 \ge 0 \Rightarrow 11x^{15} + 2x^4 \ge 0 > -9$. Коренів немає.
• 2) При $x < -1$: $x^{15} < -1 \Rightarrow 11x^{15} < -11$. Оскільки $2x^4 > 2$, то $11x^{15} + 2x^4 = 9x^{15} + 2(x^{15} + x^4) < -9 + 0 = -9$. Коренів немає.
• 3) При $-1 < x < 0$: $11x^{15} > -11$ та $2x^4 < 2 \Rightarrow 11x^{15} + 2x^4 > -11 + 2 = -9$. Коренів немає.

Відповідь: $-1$.

Спробуємо підставити значення $x = -1$ у наше рівняння: $$11 \cdot (-1)^{15} + 2 \cdot (-1)^4 = 11 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 = -11 + 2 = -9$$ Рівність справджується, отже, $x = -1$ є розв'язком рівняння. Доведемо, що він єдиний, проаналізувавши поведінку функції на різних числових проміжках:

1) Додатні числа та нуль ($x \ge 0$): У цьому випадку і $x^{15}$, і $x^4$ є невід'ємними. Їхня сума ніяк не може дорівнювати від'ємному числу $-9$.

2) Числа, менші за $-1$ ($x < -1$): Коли ми підносимо число, менше за $-1$, до непарного степеня 15, воно стає дуже великим за модулем від'ємним числом (меншим за $-1$). Доданок $11x^{15}$ стає меншим за $-11$. Навіть з урахуванням додавання невеликого додатного числа $2x^4$, загальне значення функції в цій зоні завжди буде меншим за $-9$.

3) Проміжок між $-1$ та $0$ ($-1 < x < 0$): Тут значення $x^{15}$ знаходиться в межах від $-1$ до $0$. Відповідно, $11x^{15}$ буде більше за $-11$. Додаючи до нього $2x^4$, ми отримаємо результат, що завжди перевищує $-9$.

Оскільки на жодному іншому проміжку рівність неможлива, число $-1$ — єдиний корінь рівняння.