ГДЗ до вправи 9.10 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 9.10
Парним або непарним є натуральне число $n$ у показнику степеня функції $f(x) = x^{-n}$, якщо:
- $f(-2) < f(1)$;
- $f(-2) < f(-1)$;
- $f(2) < f(1)$?
Розв'язок вправи № 9.10
Коротке рішення
1) $f(-2) < f(1) \Rightarrow \dfrac{1}{(-2)^n} < 1$. Виконується при будь-якому натуральному $n$ (парному або непарному).
2) $f(-2) < f(-1) \Rightarrow \dfrac{1}{(-2)^n} < \dfrac{1}{(-1)^n}$. При парному $n$: $\dfrac{1}{2^n} < 1$ (істинно). При непарному $n$: $-\dfrac{1}{2^n} < -1$ (хибно). Відповідь: парне.
3) $f(2) < f(1) \Rightarrow \dfrac{1}{2^n} < 1$. Виконується при будь-якому натуральному $n$ (парному або непарному).
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Потрібно проаналізувати монотонність та знак функції $y = \dfrac{1}{x^n}$ на різних проміжках залежно від парності показника $n$. Тема: Функції та їх властивості.
- У першому випадку: Порівнюємо значення у від'ємній та додатній точках. Якщо $n$ непарне, то $f(-2)$ від'ємне, а $f(1)$ додатне — нерівність істинна. Якщо $n$ парне, то обоє додатні, причому $\dfrac{1}{2^n} < 1$ — також істинно. Отже, $n$ може бути будь-яким.
- У другому випадку: Порівнюються дві від'ємні точки. Якщо функція $f(-2) < f(-1)$, це означає, що вона зростає на проміжку $(-\infty; 0)$. Це характерно лише для функції з парним показником. Якби $n$ було непарним, функція на цій ділянці спадала б, і ми мали б $f(-2) > f(-1)$.
- У третьому випадку: Обидва аргументи додатні. На проміжку $(0; +\infty)$ степенева функція з від'ємним показником $y = \dfrac{1}{x^n}$ завжди спадає (чим більший знаменник, тим менший дріб). Оскільки $2 > 1$, то нерівність $f(2) < f(1)$ істинна для будь-якого $n$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.