ГДЗ до вправи 9.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Функція $f(x) = \dfrac{1}{x^6}$ парна. На $(0; +\infty)$ спадає, на $(-\infty; 0)$ зростає.

1) $\min f(x) = f(1) = 1$; $\max f(x) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2^6 = 64;$

2) $\min f(x) = f(-1) = 1$; $\max f(x) = f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = (-2)^6 = 64;$

3) $\max f(x) = f(1) = 1$; найменшого значення не існує (наближається до $0$);

4) $\min f(x) = f(-1) = 1$; найбільшого значення не існує
(наближається до $+\infty$).

Проаналізуємо монотонність функції на заданих проміжках:

• У першому випадку: На відрізку $[0,5; 1]$ функція спадає. Чим більше $x$, тим менше значення $y$. Тому мінімум буде в точці $x=1$, а максимум — у точці $x=0,5$.
• У другому випадку: На відрізку $[-1; -0,5]$ функція зростає (це дзеркальне відображення першого випадку). Мінімальне значення буде зліва ($x=-1$), максимальне — справа ($x=-0,5$).
• У третьому випадку: Промінь $[1; +\infty)$ лежить у зоні спадання. Початкова точка дає найбільше значення ($1$), а при зростанні $x$ графік нескінченно наближається до нуля, але ніколи його не досягає. Тому найменшого значення немає.
• У четвертому випадку: На півінтервалі $[-1; 0)$ функція зростає. У точці $x=-1$ маємо мінімум. При наближенні $x$ до нуля знаменник стає дуже малим, а весь дріб — нескінченно великим. Тому найбільшого значення не існує.