ГДЗ до вправи 9.6 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 10 класу.
Автори: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Умова вправи № 9.6
Знайдіть найбільше і найменше значення функції $f(x) = x^{-6}$ на проміжку:
Розв'язок вправи № 9.6
Коротке рішення
Функція $f(x) = \dfrac{1}{x^6}$ парна. На $(0; +\infty)$ спадає, на $(-\infty; 0)$ зростає.
1) $\min f(x) = f(1) = 1$; $\max f(x) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2^6 = 64$.
2) $\min f(x) = f(-1) = 1$; $\max f(x) = f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = (-2)^6 = 64$.
3) $\max f(x) = f(1) = 1$; найменшого значення не існує (наближається до $0$).
4) $\min f(x) = f(-1) = 1$; найбільшого значення не існує (наближається до $+\infty$).
Детальне рішення
Ключ до розв’язання: Оскільки показник степеня від'ємний і парний, функція $f(x) = \dfrac{1}{x^6}$ є парною та має розрив у точці $x=0$. Її поведінка подібна до гіперболи, але обидві вітки лежать вище осі $Ox$. Тема: Степенева функція з цілим від'ємним показником.
Проаналізуємо монотонність функції на заданих проміжках:
- У першому випадку: На відрізку $[0,5; 1]$ функція спадає. Чим більше $x$, тим менше значення $y$. Тому мінімум буде в точці $x=1$, а максимум — у точці $x=0,5$.
- У другому випадку: На відрізку $[-1; -0,5]$ функція зростає (це дзеркальне відображення першого випадку). Мінімальне значення буде зліва ($x=-1$), максимальне — справа ($x=-0,5$).
- У третьому випадку: Промінь $[1; +\infty)$ лежить у зоні спадання. Початкова точка дає найбільше значення ($1$), а при зростанні $x$ графік нескінченно наближається до нуля, але ніколи його не досягає. Тому найменшого значення немає.
- У четвертому випадку: На півінтервалі $[-1; 0)$ функція зростає. У точці $x=-1$ маємо мінімум. При наближенні $x$ до нуля знаменник стає дуже малим, а весь дріб — нескінченно великим. Тому найбільшого значення не існує.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.