ГДЗ до вправи 9.7 – Алгебра 10 клас Мерзляк Номіровський

Функція $f(x) = \dfrac{1}{x^3}$ спадає на $(-\infty; 0)$ та $(0; +\infty)$.

1) $\max f(x) = f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 27$; $\min f(x) = f(2) = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$.

2) $\max f(x) = f(-2) = (-2)^{-3} = -\dfrac{1}{8}$; $\min f(x) = f(-1) = (-1)^{-3} = -1$.

3) $\min f(x) = f(-3) = (-3)^{-3} = -\dfrac{1}{27}$; найбільшого значення не існує ($f(x) \to 0$ при $x \to -\infty$).

4) $\min f(x) = f(2) = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$; найбільшого значення не існує ($f(x) \to +\infty$ при $x \to 0^+$).

Розглянемо поведінку функції на кожному проміжку:

• У першому випадку: На відрізку $\left[ \dfrac{1}{3}; 2 \right]$ функція спадає. Найбільше значення досягається в найменшій точці проміжку $x = 1/3$, а найменше — в найбільшій точці $x = 2$.
• У другому випадку: Аналогічно, на $[-2; -1]$ функція спадає. Оскільки числа від'ємні, пам'ятаємо, що $-2 < -1$. Отже, максимум зліва, мінімум справа.
• У третьому випадку: На промені $(-\infty; -3]$ функція спадає. При наближенні $x$ до $-\infty$ значення $1/x^3$ наближається до нуля знизу, але ніколи не стає рівним $0$. Тому найбільшого значення немає, а мінімум у точці $-3$.
• У четвертому випадку: На півінтервалі $(0; 2]$ функція стрімко зростає до нескінченності при наближенні $x$ до нуля. Найбільшого значення не існує, а мінімум досягається в точці $x = 2$.