Розв'язання вправи № 26 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Побудуйте графік функції $ y = \frac{x^2}{x-1} + \frac{1}{1-x} $.
Короткий розв'язок
$ y = \frac{x^2}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 $.
ОДЗ: $ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $.
Графіком є пряма $y=x+1$ з виколотою точкою. При $x=1$, $y=1+1=2$.
Виколота точка: $(1; 2)$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб побудувати графік такої функції, потрібно спочатку спростити вираз, звівши дроби до спільного знаменника. Після спрощення ми отримаємо простішу функцію, графік якої легко побудувати, врахувавши початкову область допустимих значень (ОДЗ).
1. Знайдемо область допустимих значень (ОДЗ).
Знаменники дробів не можуть дорівнювати нулю:
$ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $
$ 1-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $
Отже, ОДЗ: $x$ — будь-яке число, крім 1.
2. Спростимо вираз для функції.
Зведемо дроби до спільного знаменника. Звернемо увагу, що $1-x = -(x-1)$.
Тепер, коли знаменники однакові, віднімемо чисельники:
Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
Оскільки $x \neq 1$, ми можемо скоротити дріб на $(x-1)$:
3. Побудова графіка.
Ми отримали, що для всіх $x \neq 1$ функція має вигляд $y = x+1$. Це рівняння лінійної функції, графіком якої є пряма.
Однак, через обмеження ОДЗ ($x \neq 1$), точка на цій прямій, у якої абсциса дорівнює 1, не належить графіку. Таку точку називають "виколотою" або "діркою".
Знайдемо координати цієї точки. Підставимо $x=1$ у рівняння прямої $y=x+1$:
$y = 1+1 = 2$.
Отже, виколота точка має координати $(1; 2)$.
Для побудови прямої знайдемо дві будь-які інші точки. Наприклад:
- Якщо $x=0$, то $y=0+1=1$. Точка $(0; 1)$.
- Якщо $x=3$, то $y=3+1=4$. Точка $(3; 4)$.
Проводимо пряму через точки $(0; 1)$ і $(3; 4)$ та позначаємо на ній порожнім кружечком точку $(1; 2)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.