Розв'язання вправи № 25 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Знайдіть, для яких натуральних значень $n$ натуральним числом є значення дробу:
1) $ \frac{n+2}{n} $; 2) $ \frac{n^2+6}{n} $; 3) $ \frac{n^2-10n+16}{n} $.
Короткий розв'язок
1) $ 1 + \frac{2}{n} $. $n$ є дільником 2. $n \in \{1, 2\}$.
2) $ n + \frac{6}{n} $. $n$ є дільником 6. $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.
3) $ n - 10 + \frac{16}{n} $. $n$ є дільником 16. Перевіркою знаходимо $n \in \{1, 16\}$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб значення дробу було натуральним числом, необхідно, щоб чисельник ділився на знаменник без остачі. Зручним способом перевірки є почленне ділення чисельника на знаменник. Це дозволяє виділити цілу частину і дріб, для якого значно легше знайти умови подільності.
1) $ \frac{n+2}{n} $
Розділимо почленно чисельник на знаменник:
Щоб сума $1 + \frac{2}{n}$ була натуральним числом, доданок $ \frac{2}{n} $ повинен бути натуральним числом. Це можливо лише тоді, коли $n$ є натуральним дільником числа 2.
Натуральні дільники 2: 1, 2.
Отже, $n \in \{1, 2\}$.
2) $ \frac{n^2+6}{n} $
Розділимо почленно чисельник на знаменник:
Оскільки $n$ — натуральне число, сума $n + \frac{6}{n}$ буде натуральною, якщо доданок $ \frac{6}{n} $ є натуральним числом. Це можливо, коли $n$ є натуральним дільником числа 6.
Натуральні дільники 6: 1, 2, 3, 6.
Отже, $n \in \{1, 2, 3, 6\}$.
3) $ \frac{n^2-10n+16}{n} $
Розділимо почленно чисельник на знаменник:
Щоб значення цього виразу було натуральним числом, необхідно, щоб, по-перше, $ \frac{16}{n} $ було цілим числом (тобто $n$ — натуральний дільник 16), і, по-друге, щоб сам вираз $n - 10 + \frac{16}{n}$ був більшим за нуль.
Натуральні дільники 16: 1, 2, 4, 8, 16.
Перевіримо кожен з них:
- При $n=1$: $1 - 10 + \frac{16}{1} = -9 + 16 = 7$. (7 — натуральне число)
- При $n=2$: $2 - 10 + \frac{16}{2} = -8 + 8 = 0$. (0 — не натуральне число)
- При $n=4$: $4 - 10 + \frac{16}{4} = -6 + 4 = -2$. (не натуральне число)
- При $n=8$: $8 - 10 + \frac{16}{8} = -2 + 2 = 0$. (не натуральне число)
- При $n=16$: $16 - 10 + \frac{16}{16} = 6 + 1 = 7$. (7 — натуральне число)
Отже, умову задовольняють значення $n=1$ та $n=16$.
Отже, $n \in \{1, 16\}$.
