Розв'язання вправи № 24 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що вираз $ \frac{x+6}{(2-x)^4} + \frac{x^2-3}{(x-2)^4} - \frac{5x-1}{(2-x)^4} $ набуває додатних значень для всіх значень $x$, за умови $x \neq 2$.
Короткий розв'язок
$ \frac{x+6}{(x-2)^4} + \frac{x^2-3}{(x-2)^4} - \frac{5x-1}{(x-2)^4} = \frac{x+6+x^2-3-(5x-1)}{(x-2)^4} = \frac{x^2-4x+4}{(x-2)^4} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^4} = \frac{1}{(x-2)^2} $.
Оскільки $ (x-2)^2 > 0 $ для всіх $ x \neq 2 $, то вираз $ \frac{1}{(x-2)^2} $ завжди додатний.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз набуває лише додатних значень, потрібно його спростити і проаналізувати отриманий результат. Важливим кроком є зведення дробів до спільного знаменника, враховуючи, що $ (A-B)^n = (B-A)^n $ для будь-якого парного степеня $n$.
Маємо вираз:
Зведемо всі дроби до спільного знаменника. Оскільки степінь 4 є парним числом, то $ (2-x)^4 = (-(x-2))^4 = (x-2)^4 $. Отже, спільний знаменник для всіх дробів — це $ (x-2)^4 $.
Тепер ми можемо об'єднати всі дроби:
Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки в чисельнику:
Чисельник $ x^2-4x+4 $ є повним квадратом різниці: $ (x-2)^2 $.
Підставимо цей вираз назад у дріб:
Скоротимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на $ (x-2)^2 $:
Проаналізуємо отриманий результат. За умовою, $ x \neq 2 $, що означає $ x-2 \neq 0 $.
Знаменник $ (x-2)^2 $ є квадратом числа, відмінного від нуля, тому він завжди буде додатним: $ (x-2)^2 > 0 $.
Чисельник дорівнює 1, що є додатним числом.
Оскільки і чисельник, і знаменник завжди додатні, то їх частка також завжди буде додатною.
Висновок: вираз набуває додатних значень для всіх значень $x \neq 2$, що й треба було довести.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.