До змісту

Розв'язання вправи № 24 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що вираз x+6(2−x)4+x2−3(x−2)4−5x−1(2−x)4 \frac{x+6}{(2-x)^4} + \frac{x^2-3}{(x-2)^4} - \frac{5x-1}{(2-x)^4} набуває додатних значень для всіх значень xx, за умови x≠2x \neq 2.

Короткий розв'язок

x+6(x−2)4+x2−3(x−2)4−5x−1(x−2)4=x+6+x2−3−(5x−1)(x−2)4=x2−4x+4(x−2)4=(x−2)2(x−2)4=1(x−2)2 \frac{x+6}{(x-2)^4} + \frac{x^2-3}{(x-2)^4} - \frac{5x-1}{(x-2)^4} = \frac{x+6+x^2-3-(5x-1)}{(x-2)^4} = \frac{x^2-4x+4}{(x-2)^4} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^4} = \frac{1}{(x-2)^2} .

Оскільки (x−2)2>0 (x-2)^2 > 0 для всіх x≠2 x \neq 2 , то вираз 1(x−2)2 \frac{1}{(x-2)^2} завжди додатний.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз набуває лише додатних значень, потрібно його спростити і проаналізувати отриманий результат. Важливим кроком є зведення дробів до спільного знаменника, враховуючи, що (A−B)n=(B−A)n (A-B)^n = (B-A)^n для будь-якого парного степеня nn.

Маємо вираз:

x+6(2−x)4+x2−3(x−2)4−5x−1(2−x)4 \frac{x+6}{(2-x)^4} + \frac{x^2-3}{(x-2)^4} - \frac{5x-1}{(2-x)^4}

Зведемо всі дроби до спільного знаменника. Оскільки степінь 4 є парним числом, то (2−x)4=(−(x−2))4=(x−2)4 (2-x)^4 = (-(x-2))^4 = (x-2)^4 . Отже, спільний знаменник для всіх дробів — це (x−2)4 (x-2)^4 .

Тепер ми можемо об'єднати всі дроби:

x+6(x−2)4+x2−3(x−2)4−5x−1(x−2)4=(x+6)+(x2−3)−(5x−1)(x−2)4 \frac{x+6}{(x-2)^4} + \frac{x^2-3}{(x-2)^4} - \frac{5x-1}{(x-2)^4} = \frac{(x+6) + (x^2-3) - (5x-1)}{(x-2)^4}

Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки в чисельнику:

x+6+x2−3−5x+1(x−2)4=x2−4x+4(x−2)4 \frac{x+6+x^2-3-5x+1}{(x-2)^4} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)^4}

Чисельник x2−4x+4 x^2-4x+4 є повним квадратом різниці: (x−2)2 (x-2)^2 .

Підставимо цей вираз назад у дріб:

(x−2)2(x−2)4 \frac{(x-2)^2}{(x-2)^4}

Скоротимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на (x−2)2 (x-2)^2 :

1(x−2)2 \frac{1}{(x-2)^2}

Проаналізуємо отриманий результат. За умовою, x≠2 x \neq 2 , що означає x−2≠0 x-2 \neq 0 .

Знаменник (x−2)2 (x-2)^2 є квадратом числа, відмінного від нуля, тому він завжди буде додатним: (x−2)2>0 (x-2)^2 > 0 .

Чисельник дорівнює 1, що є додатним числом.

Оскільки і чисельник, і знаменник завжди додатні, то їх частка також завжди буде додатною.

Висновок: вираз набуває додатних значень для всіх значень x≠2x \neq 2, що й треба було довести.