Розв'язання вправи № 32 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що для всіх значень змінної значення виразу
$ \frac{(a-3)(a-7)}{12} - \frac{(a-7)(a-1)}{8} + \frac{(a-1)(a-3)}{24} $
не залежить від $a$.
Короткий розв'язок
$ \frac{2(a-3)(a-7) - 3(a-7)(a-1) + (a-1)(a-3)}{24} = $
$ = \frac{2(a^2-10a+21) - 3(a^2-8a+7) + (a^2-4a+3)}{24} = $
$ = \frac{2a^2-20a+42 - 3a^2+24a-21 + a^2-4a+3}{24} = \frac{24}{24} = 1 $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести, що значення виразу не залежить від змінної, потрібно спростити цей вираз. Якщо в результаті спрощення ми отримаємо число (константу), то доведення завершено. Для цього зведемо всі дроби до спільного знаменника, а потім виконаємо дії з чисельниками.
1. Знайдемо спільний знаменник для дробів зі знаменниками 12, 8 і 24. Найменше спільне кратне цих чисел - 24.
2. Визначимо додаткові множники для кожного дробу:
- Для першого дробу: $24 \div 12 = 2$
- Для другого дробу: $24 \div 8 = 3$
- Для третього дробу: $24 \div 24 = 1$
3. Зведемо дроби до спільного знаменника 24:
4. Розкриємо дужки в чисельниках до множення на додатковий множник:
5. Підставимо ці вирази в чисельник загального дробу:
6. Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки:
Оскільки в результаті спрощення ми отримали число 1, яке не містить змінної $a$, ми довели, що значення виразу не залежить від $a$.
